旋转反演$\boldsymbol{R}$与平移$T(\boldsymbol{a})$复合操作$\{\boldsymbol{R}|\boldsymbol{a}\}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{Rr}+\boldsymbol{a}$构成群$E_3$
平移群$\{\boldsymbol{I}|\boldsymbol{a}\}$为不变子群，旋转群$\{\boldsymbol{R}|\boldsymbol{0}\}$不是
平移旋转一般不对易，$E_3=T\rtimes R$
研究$E_3$分立子群，取定三维晶格，保持晶格不变的操作$\{\boldsymbol{R}|\boldsymbol{a}\}$称为对称操作，满足
$|\boldsymbol{a}|\ge a_0$的对称操作构成的群称为晶格空间群
空间群三类基本操作为平移操作$T=\{\boldsymbol{I}|\boldsymbol{r_n}\}$、点操作$P=\{\boldsymbol{\alpha_s}|\boldsymbol{0}\}$、复合操作
$\{\boldsymbol{\alpha_P}|\boldsymbol{\tau}\}$为旋转反演后进行一个非整数平移
$n$度轴$C_n$，其对称元素为$c_n^k$；反射面$\sigma$，与轴垂直为$\sigma_h$，包含轴为$\sigma_v$，平分两轴为
$\sigma_d$；中心反演$i$；$n$度像转轴$S_n=C_n\sigma_h$
夹角为$\varphi$的两个$2$度轴复合，得到与其均垂直的旋转$c_{2A}c_{2B}=c(-2\varphi)$，注意此处定义操作先后顺序为从左到右
夹角为$\varphi$的两个含轴反射面复合，得到沿轴的旋转$\sigma_v\sigma_{v’}=c(-2\varphi)$
第一类点群仅包含纯旋转，以下讨论仅包含晶格点群
单轴点群：$C_1,C_2,C_3,C_4,C_6$
多边形点群：$D_2,D_3,D_4,D_6$
多面体点群：$T,O$
共$11$种
第二类点群包括反演
中心反演：$C_i$
平面反射：$C_s$
旋转与垂直轴反射面复合：$C_{2h},C_{3h},C_{4h},C_{6h}\cong C_n\otimes C_s,C_{2h}\cong C_2\otimes C_i$
旋转与包含轴反射面复合：$C_{2v},C_{3v},C_{4v},C_{6v}\cong D_n$
包含像转轴：$S_4,S_6$
多边形与垂直轴反射面复合：$D_{2h},D_{4h},D_{6h}\cong D_n\otimes C_i,D_{3h}\cong D_n \otimes C_s$
多边形与平分轴反射面复合：$D_{2d},D_{3d}\cong D_3\otimes C_i$
多面体与垂直轴反射面复合：$T_h\cong T\otimes C_i,O_h\cong O\otimes C_i$
多边形与平分轴反射面复合：$T_d\cong O$
共$21$种
第一类晶格点群与第二类晶格点群共$32$种
平移群的对称点群$P=\{\alpha:\alpha\boldsymbol{r_n}=\boldsymbol{r_n}’\in T\}$
$P$点群包含反演，且有$C_{nv}$为其子群，一共七种晶系满足此条件
三斜$C_i$，单斜$C_{2h}$，正交$D_{2h}$，四方$D_{4h}$，三角$D_{3d}$，六角$D_{6h}$，立方$O_h$
| 晶系 | 点群个数 | Bravais格子数 | 空间群个数 |
| 三斜 | 2 | 1 | 2 |
| 单斜 | 3 | 2 | 13 |
| 正交 | 3 | 4 | 59 |
| 四方 | 7 | 2 | 68 |
| 三角 | 5 | 1 | 25 |
| 六角 | 7 | 1 | 27 |
| 立方 | 5 | 3 | 36 |
| 总计 | 32 | 14 | 230 |
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