光的引力红移

球对称度规$\dd s^2=-f(r)c^2\dd t^2+g(r)\dd r^2+r^2(\dd \theta^2+\sin^2\theta\dd \phi^2)=-c^2\dd \tau^2$，单频辐射沿径向传播，经过$A,B$两点

径向$\dd\theta,\dd \phi=0$，电磁波$\dd s^2=0$，故有$\displaystyle\dd t=\frac{1}{c}\sqrt{\frac{g}{f}}\dd r$

波阵面由$A$至$B$时间间隔$t_B-t_A=\displaystyle\int_{r_A}^{r_B}\frac{1}{c}\sqrt{\frac{g}{f}}\dd r=常数$

故对于相邻两个波阵面$t_B前-t_A前=t_B后-t_A后\Rightarrow \displaystyle\frac{t_B后-t_B前}{t_A后-t_A前}=1$

相邻两个波阵面经过某点$P$固有时间隔$\Delta\tau_P=(t_P后-t_P前)\sqrt{f(r_P)}=\nu_P^{-1}$

故$A,B$两点观测所得电磁波频率之比$\displaystyle\frac{\nu_A}{\nu_B}=\sqrt{\frac{f(r_B)}{f(r_A)}}$

对于牛顿极限下的弱引力场$f=1+2\Phi/c^2$，$\displaystyle\frac{\Delta\nu}{\nu}\approx-\frac{\Delta\Phi}{c^2}$

从地表向太空发射电磁波信号，其频率将会减小，此现象在1960年被R. V. Pound和
G. A. Rebka, Jr.观测到，其实验所用探测器处于$h=22.5\text{m}$的高度，
用移动原子源产生的多普勒蓝移精确补偿引力红移$\Delta \nu/\nu\approx -2\times 10^{-15}$，链接

水星近日点进动

引入无量纲变量$y=Ru$，$R$为粒子运动特征轨道半径，施瓦西度规下有质量粒子运动方程成为$y’’-\alpha+y-\varepsilon y$，其中$\alpha=\displaystyle\frac{G_NMR}{L_z^2},\varepsilon=\frac{3G_NM}{c^2R}=\frac{3r_S}{2R}$

太阳施瓦西半径$r_S\approx 3\text{km}$，水星特征轨道半径$R\approx 5\times 10^7 \text{km}$，$\varepsilon\sim 10^{-7}$，可将$y$用$\varepsilon$展开为$y=y_0+y_1\varepsilon+O(\varepsilon^2)$

代入运动方程有$y_0’’+y_0=\alpha$，$y_1’’+y_1=y_0^2$

解得$y_0=\alpha+A\cos\phi$，$y_1=\displaystyle \alpha^2+\frac{A^2}{2}+A\alpha \phi\sin\phi-\frac{A^2}{6}\cos(2\phi)+B\cos\phi$

$y_1$中周期为$2\pi$的项无贡献，$y$的进动由$\varepsilon\alpha \phi\sin\phi\approx \cos(\phi-\varepsilon\alpha\phi)- \cos \phi$决定，

$\cos(\phi-\varepsilon\alpha\phi)$周期约为$2\pi(1+\varepsilon\alpha)$，每转一圈相当于近日点进动$\delta\phi=2\pi\varepsilon\alpha$

代入$\alpha=\displaystyle\frac{R}{a(1-e^2)}$，公转$n$圈后$\delta\phi=\displaystyle\frac{6\pi G_NM}{c^2}\frac{n}{a(1-e^2)}$，

相对论效应对水星近日点进动的贡献约为每$100$年$43$角秒，而分点岁差、太阳扁率和其他行星对水星的扰动的贡献加和约为每$100$年$5557$角秒

此现象在1859年被Urbain Jean Joseph Le Verrier观测到，链接

光的偏折

与上节相仿，无质量粒子运动方程为$y’’+y-\varepsilon y=0$，可解得

$y=\displaystyle A\cos\phi+\varepsilon\left(\frac{2A^2}{3}-\frac{A^2}{3}\cos^2\phi+B\cos\phi\right)+O(\varepsilon^2)$

令$y=0$可得无穷远处方位角，$\displaystyle\cos^2\phi-\frac{3(B+A/\varepsilon)}{A^2}\cos\phi-2=0$

$\cos\phi\approx \displaystyle\frac{-2A^2}{3(B+A/\varepsilon)}=-\frac{2\varepsilon A}{3}+O(\varepsilon^2)$，$\displaystyle\phi\approx \pm(\frac{\pi}{2}+\frac{2\varepsilon A}{3})$

令$b$为碰撞参数，则$\displaystyle A=\frac{R}{b}，$光偏折角$\Delta=\displaystyle\frac{4\varepsilon A}{3}=\frac{2r_S}{b}=\frac{4G_NM}{c^2b}$

对于太阳表面掠射的光线$b\approx 7\times 10^5\text{km}$，$\Delta\approx 1.75\times 10^{-18}\text{s}=1.75\;\text{as}$

此现象在1919年被Arthur Stanley Eddington小组观测到，链接

Shapiro效应

电磁信号穿过引力场而产生延迟的现象称为夏皮罗效应

考虑球对称引力场中两点$\displaystyle A:(r_A,\frac{\pi}{2},\phi_A)$，$\displaystyle B:(r_B,\frac{\pi}{2},\phi_B)$，$C$为质量中心$O$对$AB$的垂足

$\dd s^2=-f(r)c^2\dd t^2+g(r)\dd r^2+r^2(\dd \theta^2+\sin^2\theta\dd \phi^2)=-c^2\dd \tau^2$

施瓦西度规中对无质量粒子有，$\displaystyle g\left(\frac{\dd r}{\dd \tau}\right)^2+\frac{L_z^2}{r^2}-\frac{E^2}{c^2f}=0$

$\displaystyle g=\frac{1}{f}$，$\displaystyle\frac{\dd t}{\dd \tau}=\frac{E}{c^2f}$，$L_z^2=\displaystyle\left. r^4\left(\frac{\dd \phi}{\dd \tau}\right)^2\right|_C=\frac{E^2 r_C^2}{c^2 f(r_C)}$

代入可得$\displaystyle\frac{1}{f^3}\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2+\frac{c^2}{f(r_C)}\frac{r_C^2}{r^2}-\frac{c^2}{f}=0$

电磁信号从$A$传播至$C$时间间隔为

$\displaystyle t_{AC}=\frac{1}{c}\int_{r_A}^{r_C}\frac{\dd r}{\displaystyle\sqrt{\left[1-\frac{f(r)}{f(r_C)}\frac{r_C^2}{r^2}\right]f^2(r)}}$

$\displaystyle f(r)=1-\frac{r_S}{r}$，仅考虑积分展开式中$\displaystyle\frac{r_S}{r}$和$\displaystyle\frac{r_S}{r}$的一阶项，可得

$\displaystyle t_{AC}\approx \frac{1}{c}\sqrt{r_A^2-r_C^2}+\frac{r_S}{c}\ln\left(\frac{r_A+\sqrt{r_A^2-r_C^2}}{r_C}\right)+\frac{r_S}{2c}\sqrt{\frac{r_A-r_C}{r_A+r_C}}$

电磁信号从$A$传播至$B$时间间隔为$t_{AB}=t_{AC}+t_{BC}$

在平直时空中$\displaystyle \tilde{t}_{AB}=\frac{1}{c}\left(\sqrt{r_A^2-r_C^2}+\sqrt{r_B^2-r_C^2}\right)$

当$r_C$等于太阳半径$R_{\odot}\ll r_A,r_B$ 时观测到的时间延迟最大

$\delta t_{\max}\approx \displaystyle\frac{2G_NM}{c^3}\left[1+\ln\left(\frac{r_A r_B}{R_\odot^2}\right)\right]$

对于地球与水星之间的信号，取

$r_A$	$r_B$	$R_\odot$	$r_S$
$150\times 10^6\text{km}$	$58\times 10^6\text{km}$	$0.7\times 10^6\text{km}$	$2.95\text{km}$

则有$\delta t_\max\approx 0.12\text{ms}$，链接

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From Cosmo Bambi’s Introduction to General Relativity