广义相对论实验验证 |

光的引力红移

球对称度规 $d s^{2} = - f (r) c^{2} d t^{2} + g (r) d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2}) = - c^{2} d τ^{2}$ ，单频辐射沿径向传播，经过 $A, B$ 两点

径向 $d θ, d ϕ = 0$ ，电磁波 $d s^{2} = 0$ ，故有 $d t = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{g}{f}} d r$

波阵面由 $A$ 至 $B$ 时间间隔 $t_{B} - t_{A} = \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{1}{c} \sqrt{\frac{g}{f}} d r = 常数$

故对于相邻两个波阵面 $t_{B} 前 - t_{A} 前 = t_{B} 后 - t_{A} 后 \Rightarrow \frac{t_{B} 后 - t_{B} 前}{t_{A} 后 - t_{A} 前} = 1$

相邻两个波阵面经过某点 $P$ 固有时间隔 $Δ τ_{P} = (t_{P} 后 - t_{P} 前) \sqrt{f (r_{P})} = ν_{P}^{- 1}$

故 $A, B$ 两点观测所得电磁波频率之比 $\frac{ν_{A}}{ν_{B}} = \sqrt{\frac{f (r_{B})}{f (r_{A})}}$

对于牛顿极限下的弱引力场 $f = 1 + 2 Φ / c^{2}$ ， $\frac{Δ ν}{ν} \approx - \frac{Δ Φ}{c^{2}}$

从地表向太空发射电磁波信号，其频率将会减小，此现象在1960年被R. V. Pound和
G. A. Rebka, Jr.观测到，其实验所用探测器处于 $h = 22.5 m$ 的高度，
用移动原子源产生的多普勒蓝移精确补偿引力红移 $Δ ν / ν \approx - 2 \times 10^{- 15}$ ，链接

水星近日点进动

引入无量纲变量 $y = R u$ ， $R$ 为粒子运动特征轨道半径，施瓦西度规下有质量粒子运动方程成为 $y^{″} - α + y - ε y$ ，其中 $α = \frac{G_{N} M R}{L_{z}^{2}}, ε = \frac{3 G_{N} M}{c^{2} R} = \frac{3 r_{S}}{2 R}$

太阳施瓦西半径 $r_{S} \approx 3 km$ ，水星特征轨道半径 $R \approx 5 \times 10^{7} km$ ， $ε \sim 10^{- 7}$ ，可将 $y$ 用 $ε$ 展开为 $y = y_{0} + y_{1} ε + O (ε^{2})$

代入运动方程有 $y_{0}^{″} + y_{0} = α$ ， $y_{1}^{″} + y_{1} = y_{0}^{2}$

解得 $y_{0} = α + A \cos ϕ$ ， $y_{1} = α^{2} + \frac{A^{2}}{2} + A α ϕ \sin ϕ - \frac{A^{2}}{6} \cos (2 ϕ) + B \cos ϕ$

$y_{1}$ 中周期为 $2 π$ 的项无贡献， $y$ 的进动由 $ε α ϕ \sin ϕ \approx \cos (ϕ - ε α ϕ) - \cos ϕ$ 决定，

$\cos (ϕ - ε α ϕ)$ 周期约为 $2 π (1 + ε α)$ ，每转一圈相当于近日点进动 $δ ϕ = 2 π ε α$

代入 $α = \frac{R}{a (1 - e^{2})}$ ，公转 $n$ 圈后 $δ ϕ = \frac{6 π G_{N} M}{c^{2}} \frac{n}{a (1 - e^{2})}$ ，

相对论效应对水星近日点进动的贡献约为每 $100$ 年 $43$ 角秒，而分点岁差、太阳扁率和其他行星对水星的扰动的贡献加和约为每 $100$ 年 $5557$ 角秒

此现象在1859年被Urbain Jean Joseph Le Verrier观测到，链接

光的偏折

与上节相仿，无质量粒子运动方程为 $y^{″} + y - ε y = 0$ ，可解得

$y = A \cos ϕ + ε (\frac{2 A^{2}}{3} - \frac{A^{2}}{3} \cos^{2} ϕ + B \cos ϕ) + O (ε^{2})$

令 $y = 0$ 可得无穷远处方位角， $\cos^{2} ϕ - \frac{3 (B + A / ε)}{A^{2}} \cos ϕ - 2 = 0$

$\cos ϕ \approx \frac{- 2 A^{2}}{3 (B + A / ε)} = - \frac{2 ε A}{3} + O (ε^{2})$ ， $ϕ \approx \pm (\frac{π}{2} + \frac{2 ε A}{3})$

令 $b$ 为碰撞参数，则 $A = \frac{R}{b} ，$ 光偏折角 $Δ = \frac{4 ε A}{3} = \frac{2 r_{S}}{b} = \frac{4 G_{N} M}{c^{2} b}$

对于太阳表面掠射的光线 $b \approx 7 \times 10^{5} km$ ， $Δ \approx 1.75 \times 10^{- 18} s = 1.75 as$

此现象在1919年被Arthur Stanley Eddington小组观测到，链接

Shapiro效应

电磁信号穿过引力场而产生延迟的现象称为夏皮罗效应

考虑球对称引力场中两点 $A : (r_{A}, \frac{π}{2}, ϕ_{A})$ ， $B : (r_{B}, \frac{π}{2}, ϕ_{B})$ ， $C$ 为质量中心 $O$ 对 $A B$ 的垂足

$d s^{2} = - f (r) c^{2} d t^{2} + g (r) d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2}) = - c^{2} d τ^{2}$

施瓦西度规中对无质量粒子有， $g {(\frac{d r}{d τ})}^{2} + \frac{L_{z}^{2}}{r^{2}} - \frac{E^{2}}{c^{2} f} = 0$

$g = \frac{1}{f}$ ， $\frac{d t}{d τ} = \frac{E}{c^{2} f}$ ， $L_{z}^{2} = {r^{4} {(\frac{d ϕ}{d τ})}^{2} |}_{C} = \frac{E^{2} r_{C}^{2}}{c^{2} f (r_{C})}$

代入可得 $\frac{1}{f^{3}} {(\frac{d r}{d t})}^{2} + \frac{c^{2}}{f (r_{C})} \frac{r_{C}^{2}}{r^{2}} - \frac{c^{2}}{f} = 0$

电磁信号从 $A$ 传播至 $C$ 时间间隔为

$t_{A C} = \frac{1}{c} \int_{r_{A}}^{r_{C}} \frac{d r}{\sqrt{[1 - \frac{f (r)}{f (r_{C})} \frac{r_{C}^{2}}{r^{2}}] f^{2} (r)}}$

$f (r) = 1 - \frac{r_{S}}{r}$ ，仅考虑积分展开式中 $\frac{r_{S}}{r}$ 和 $\frac{r_{S}}{r}$ 的一阶项，可得

$t_{A C} \approx \frac{1}{c} \sqrt{r_{A}^{2} - r_{C}^{2}} + \frac{r_{S}}{c} \ln (\frac{r_{A} + \sqrt{r_{A}^{2} - r_{C}^{2}}}{r_{C}}) + \frac{r_{S}}{2 c} \sqrt{\frac{r_{A} - r_{C}}{r_{A} + r_{C}}}$

电磁信号从 $A$ 传播至 $B$ 时间间隔为 $t_{A B} = t_{A C} + t_{B C}$

在平直时空中 ${\tilde{t}}_{A B} = \frac{1}{c} (\sqrt{r_{A}^{2} - r_{C}^{2}} + \sqrt{r_{B}^{2} - r_{C}^{2}})$

当 $r_{C}$ 等于太阳半径 $R_{⊙} ≪ r_{A}, r_{B}$ 时观测到的时间延迟最大

$δ t_{max} \approx \frac{2 G_{N} M}{c^{3}} [1 + \ln (\frac{r_{A} r_{B}}{R_{⊙}^{2}})]$

对于地球与水星之间的信号，取

$r_{A}$	$r_{B}$	$R_{⊙}$	$r_{S}$
$150 \times 10^{6} km$	$58 \times 10^{6} km$	$0.7 \times 10^{6} km$	$2.95 km$

则有 $δ t_{max} \approx 0.12 ms$ ，链接

From Cosmo Bambi’s Introduction to General Relativity