无穷小生成元

具有群结构的光滑流形$G$称为李群，其群元可由参数连续变化的解析函数表示

选取参数令$g(0)=I$，将群元$g(\alpha)$在原点附近对其参数$\alpha_i$泰勒展开

$$g(\alpha)=I+\alpha_i X_i+\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_i\alpha_j X_{ij}+\cdots$$

$X_i=\displaystyle\left.\frac{\partial g(\alpha)}{\partial \alpha_i}\right|_{\alpha=0}$ 称为无穷小生成元，其对应的算符$\hat{X}_i$ 称为无穷小算符

逆元展开

$$g^{-1}(\alpha)=I-\alpha_i X_i-\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_i\alpha_j (X_{ij}-2X_iX_j)+\cdots$$

考虑 $g(\alpha)=g^{-1}(\beta)g^{-1}(\gamma)g(\beta)g(\gamma)=I+\beta_i\gamma_j[X_i,X_j]+\cdots$

可知$[X_i,X_j]=c_{ij}^k X_k$，$c_{ij}$ 称为结构常数

记 $X_i$生成的流为 $\varphi_i(t)$，由流的性质可定义指数映射

$$\exp(\alpha_i X_i)=\prod _{i}\varphi_i(\alpha_i)$$

可调整群元参数令 $g(\alpha)=\exp(\alpha_i X_i)$

不变积分

对无限群$G$上函数$f(g)$积分，$\rho(\alpha)$ 为权函数

$$\int_G f(g)\dd \tau_g=\int f(g(\alpha))\rho(\alpha)\dd \alpha$$

若积分满足有限群重排定理类似条件

$$\displaystyle\int_G f(g)\text{d}_L \tau_g=\displaystyle\int_G f(g’g)\text{d}_L \tau_g\quad \forall g’\in G$$

$$\displaystyle\int_G f(g)\text{d}_R \tau_g=\displaystyle\int_G f(gg’)\text{d}_R \tau_g\quad \forall g’\in G$$

则称其为左/右不变积分，权函数为左/右不变权函数

对于紧致李群，左/右不变权函数相等且积分有限；而非紧致李群只能定义左不变或右不变积分，且积分可能发散

若积分同时满足左右不变性，可写成 $\rho_L(\alpha),\rho_R(\alpha)=\rho(\alpha)$

由积分不变性可知在不同参数下测度不变，即$\rho(\alpha)=\displaystyle\left|\frac{\partial \beta}{\partial \alpha}\right|_{\beta=0}\rho(0)$

要求归一性 $\displaystyle\int_G \dd \tau_g=1$，可取$\rho(0)$为群体积倒数

现在可将正交归一关系推广到李群

$$\int_G D^{(l)*}(g)_{mn}D^{(l’)}(g)_{m’n’}\dd \tau_g=\frac{1}{d_l}\delta_{ll’}\delta_{mm’}\delta_{nn’}$$

取迹得到特征标正交归一关系

$$\int_G \chi^{(l)*}(g)\chi^{(l’)}\dd \tau_g=\delta_{ll’}$$