$\Gamma$ 函数

$$\Gamma(z)=\int_0^\infty \frac{t^{z-1}}{e^t}\dd t\qquad z\in\mathbb{C}$$

$\Gamma$函数是 阶乘的自然推广

$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$

由于$\displaystyle\left|\frac{t^{z-1}}{e^t}\right|=\frac{t^{x-1}}{e^t}$，故积分在$\Re\;z>0$ 时绝对收敛，为全纯函数

由 $\displaystyle \Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}$，$\Gamma$ 函数无零点，奇点为非正整数

$$\Res(\Gamma(z),-n)=\frac{(-1)^n}{n!}$$

采用 $f_n(z)=\displaystyle \int_0^n \left(1-\frac{t}{n}\right)^nt^{z-1}\dd t=\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}$，可得

Gauss 公式

$$\Gamma(z)=\lim_{n\to \infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}$$

Weierstrass 公式

$$\frac{1}{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}$$

Euler 反射公式

$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}}$$

$\zeta$ 函数

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\qquad \Re \;s>1$$

级数在 $\Re \;s>1$ 时绝对收敛，为全纯函数

Euler 公式 给出$\zeta$ 函数与素数序列$\lbrace p_n\rbrace$的关系

$$\zeta(s)=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{1}{p_n^{s}}\right)^{-1} \qquad \Re \;s>1$$

利用 $\displaystyle \frac{\Gamma(s)}{n^s}=\int_0^\infty\frac{t^{s-1}}{e^{nt}}\dd t$ 可得

$$\zeta(s)\Gamma(s)=\int_0^\infty\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\dd t \qquad \Re \;s>1$$

取如下围道$C$，$\zeta$函数可被解析延拓到除 唯一奇点 $s=1$ 外的整个复平面

$$\begin{aligned}
\zeta(s)&=\frac{1}{(e^{2\pi i s}-1)\Gamma(s)} \int_C\frac{z^{s-1}}{e^z-1}\dd z\\
\qquad\\
&=\frac{e^{-\pi i s}\Gamma(1-s)}{2\pi i} \int_C\frac{z^{s-1}}{e^z-1}\dd z\qquad s\in \mathbb{C}
\end{aligned}$$

$$\Res(\zeta(s),1)=1$$

利用 $\displaystyle\psi(z)=\frac{z^{s-1}}{e^z-1}$，$\displaystyle\Res(\psi(z),2\pi i k)=(2\pi i k)^{s-1}$

$\displaystyle \int_C \psi(z)\dd z=-2\pi i \sum_{k=-\infty}^\infty \Res(\psi(z),2\pi i k)=2i e^{\pi is}(2\pi)^{s}\sin\frac{\pi s}{2}\sum_{k=1}^\infty k^{s-1}$

可得

$$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\frac{\pi s}{2}\zeta(1-s)\Gamma(1-s)\qquad \Re\; s<0$$

结合欧拉公式，$\zeta$函数在$\Re\; s>1$上无零点，在$\Re\; s<0$上的平凡零点为负偶数

黎曼猜想 $\zeta$函数的非平凡零点全部位于直线 $\Re\; s=\displaystyle 1/2$ 上