定义

$n$个符号的所有置换构成置换群$S_n$，其为$n!$阶群

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ p_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right)$$

置换可以拆解为循环复合，作用顺序为从右往左，独立循环可交换顺序

$$(a_p\cdots a_m{a}_n)(a_n\cdots a_r{a}_q)=(a_p\cdots a_r{a}_q)$$

置换可以拆解为对换复合，因而可以拆解为生成元$(1k)$复合

$$(mn)=(1m)(1n)(1m)$$

置换可唯一拆解为独立循环复合，其中包含${\nu }_i$个$i$循环，循环结构表示为

$$(1^{{\nu }_1}{2}^{{\nu }_2}\cdots n^{{\nu }_n})$$

$${\nu }_1+2{\nu }_2+\cdots +n{\nu }_n=n$$

偶数个符号的置换称为奇置换，奇数个符号的置换称为偶置换

奇置换拆解为奇数个对换复合，偶置换拆解为偶数个对换复合

奇置换与偶置换复合为奇置换，奇偶性相同置换复合为偶置换

偶置换构成$S_n$的$n!/2$阶正规子群$A_n$，可构造$2$阶商群$S_n/A_n$

共轭类、配分与Young图

定理1 置换群中元素处于同一共轭类的充要条件为其循环结构相同，可将共轭类记为

$$(l)=(1^{{\nu }_1}{2}^{{\nu }_2}\cdots n^{{\nu }_n})$$

令${\lambda }_i={\displaystyle \sum _{j=i}^n{\nu }_j}$，建立$\{{\lambda }_i\}$和$\{{\nu }_i\}$之间的双射，得到$n$的一个配分

$$[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n]$$

$${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=n$$

配分的个数与共轭类的个数相等，因而与不等价不可约表示的个数相等

每个配分亦即不可约表示可用图形表示，将${\lambda }_i$转化为${\lambda }_i$个方格组成的横条从上往下左对齐依次排列，称为Young图

称关于直线$y=-x$对称的Young图对偶，对偶Young图具有相同的维数

定理2 类$(l)=(1^{{\nu }_1}{2}^{{\nu }_2}\cdots n^{{\nu }_n})$中包含的元素个数为

$$n_{(l)}=\frac{n!}{1^{{\nu }_1}{2}^{{\nu }_2}\cdots n^{{\nu }_n}{\nu }_1!{\nu }_2!\cdots {\nu }_n!}$$

Frobenius公式和图形方法

Frobenius公式 略

Young盘为用$1,2,\cdots ,n$填充后的Young图，每个数字恰好使用一次；标准Young盘填充数字从左往右、从上往下增大

计算不可约表示维数

定理3 $S_n$的不可约表示$[\lambda ]$的维数等于相应的标准Young盘的数目，且有公式

$$d_{[\lambda ]}(S_n)=\frac{n!}{r_1!r_2!\cdots r_m!}\prod _{i<j}^m(r_i-r_j)$$

$$r_i={\lambda }_i+m-im\text{为Young图行数}$$

钩形数规则 从Young图的某个方格$(i,j)$向右与向下延伸至尽头，最终共占据的格数称为该格的钩形数$h_{ij}$，则$S_n$的不可约表示$[\lambda ]$的维数为$n!$除以所有格子的钩形数的乘积

$$d_{[\lambda ]}(S_n)=\frac{n!}{{\displaystyle \prod _{i,j}{h}_{ij}}}$$

计算特征标

给定不可约表示$[\lambda ]$和类$(l)=(1^{{\nu }_1}{2}^{{\nu }_2}\cdots n^{{\nu }_n})$，画出$[\lambda ]$对应的Young图，每个$i$循环用$i$个相同的数字填充Young图，不同循环使用不同数字填充，使得填充数字从左往右、从上往下增大，且相同数字构成连通的从左下角开始向右或向上延伸的道路

对每种填充方式，若所有相同数字均占据奇数行，此填充方式给出$1$，若每有一组相同数字占据了偶数行，则乘上$-1$，所有填充方式对应的数字之和即为所需求的特征标

Young算符

由于不可约表示$[\lambda ]$的负载基等于相应的标准Young盘的数目，对每个标准Young盘可定义一个Young算符，$\hat{A}$为垂直置换算符，$\hat{S}$为水平置换算符

$${\hat{Y}}_k^{[\lambda ]}=\hat{A}\hat{S}=[\prod _i\sum _{P_i}(-1{)}^{P_i}{P}_i]\left[\prod _j\sum _{P_j^{\prime }}{P}_j^{\prime }\right]$$

将每个Young算符作用于其对应的标准Young盘的填充数字的排序，可以得到Young基

外积

直积群$S_m\otimes S_n$为$S_{m+n}$的子群，从$S_m\otimes S_n$的不可约表示诱导出$S_{m+n}$的表示，称为$S_n$和$S_m$的外积，可将其约化为$S_{m+n}$的不可约表示的直和

$$[\mu ]\times [\nu ]=\sum _{\lambda }{a}_{\mu \nu }^{\lambda }[\lambda ]$$

外积的维数为

$$d_{[\mu ]\times [\nu ]}=\frac{(m+n)!}{m!n!}{d}_{[\mu ]}{d}_{[\nu ]}$$

可通过图形方法求外积的约化

将$[\mu ]\times [\nu ]$的Young图画出，然后将$[\nu ]$对应Young图的处于同一行的方格用相同符号标记，从上往下按行将$[\nu ]$的方格加到$[\mu ]$上，过程中保证添加方格后的图始终为Young图，且相同符号标记的方格不能处于同一列，添加完成后的Young图满足从右往左数时$[\nu ]$上方行标记累计个数始终大于等于下方行标记累计个数，$[\mu ]\times [\nu ]$的约化即为所有填充方式得到的Young图对应的不可约表示$[\lambda ]$的直和