定义

$n$个符号的所有置换构成置换群$S_n$，其为$n!$阶群

$$\begin{pmatrix}
1&2&\cdots&n\\
p_1&p_2&\cdots&p_n
\end{pmatrix}$$

置换可以拆解为循环复合，作用顺序为从右往左，独立循环可交换顺序

$$(a_p\cdots a_ma_n)(a_n\cdots a_ra_q)=(a_p\cdots a_r a_q)$$

置换可以拆解为对换复合，因而可以拆解为生成元$(1k)$复合

$$(mn)=(1m)(1n)(1m)$$

置换可唯一拆解为独立循环复合，其中包含$\nu_i$个$i$循环，循环结构表示为

$$(1^{\nu_1}2^{\nu_2}\cdots n^{\nu_n})$$

$$\nu_1+2\nu_2+\cdots+n\nu_n=n$$

偶数个符号的置换称为奇置换，奇数个符号的置换称为偶置换

奇置换拆解为奇数个对换复合，偶置换拆解为偶数个对换复合

奇置换与偶置换复合为奇置换，奇偶性相同置换复合为偶置换

偶置换构成$S_n$的$n!/2$阶正规子群$A_n$，可构造$2$阶商群$S_n/A_n$

共轭类、配分与Young图

定理1 置换群中元素处于同一共轭类的充要条件为其循环结构相同，可将共轭类记为

$$(l)=(1^{\nu_1}2^{\nu_2}\cdots n^{\nu_n})$$

令$\lambda_i=\displaystyle\sum_{j=i}^n\nu_j$，建立$\{\lambda_i\}$和$\{\nu_i\}$之间的双射，得到$n$的一个配分

$$[\lambda]=[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n]$$

$$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=n$$

配分的个数与共轭类的个数相等，因而与不等价不可约表示的个数相等

每个配分亦即不可约表示可用图形表示，将$\lambda_i$转化为$\lambda_i$个方格组成的横条从上往下左对齐依次排列，称为Young图

称关于直线$y=-x$对称的Young图对偶，对偶Young图具有相同的维数

定理2 类$(l)=(1^{\nu_1}2^{\nu_2}\cdots n^{\nu_n})$中包含的元素个数为

$$n_{(l)}=\frac{n!}{1^{\nu_1}2^{\nu_2}\cdots n^{\nu_n}\nu_1!\nu_2!\cdots\nu_n!}$$

Frobenius公式和图形方法

Frobenius公式 略

Young盘为用$1,2,\cdots,n$填充后的Young图，每个数字恰好使用一次；标准Young盘填充数字从左往右、从上往下增大

计算不可约表示维数

定理3 $S_n$的不可约表示$[\lambda]$的维数等于相应的标准Young盘的数目，且有公式

$$d_{[\lambda]}(S_n)=\frac{n!}{r_1!r_2!\cdots r_m!}\prod_{i<j}^m(r_i-r_j)$$

$$r_i=\lambda_i+m-i\qquad m\text{为Young图行数}$$

钩形数规则 从Young图的某个方格$(i,j)$向右与向下延伸至尽头，最终共占据的格数称为该格的钩形数$h_{ij}$，则$S_n$的不可约表示$[\lambda]$的维数为$n!$除以所有格子的钩形数的乘积

$$d_{[\lambda]}(S_n)=\frac{n!}{\displaystyle\prod_{i,j}h_{ij}}$$

计算特征标

给定不可约表示$[\lambda]$和类$(l)=(1^{\nu_1}2^{\nu_2}\cdots n^{\nu_n})$，画出$[\lambda]$对应的Young图，每个$i$循环用$i$个相同的数字填充Young图，不同循环使用不同数字填充，使得填充数字从左往右、从上往下增大，且相同数字构成连通的从左下角开始向右或向上延伸的道路

对每种填充方式，若所有相同数字均占据奇数行，此填充方式给出$1$，若每有一组相同数字占据了偶数行，则乘上$-1$，所有填充方式对应的数字之和即为所需求的特征标

Young算符

由于不可约表示$[\lambda]$的负载基等于相应的标准Young盘的数目，对每个标准Young盘可定义一个Young算符，$\hat{A}$为垂直置换算符，$\hat{S}$为水平置换算符

$$\hat{Y}_k^{[\lambda]}=\hat{A}\hat{S}=\left[\prod_i\sum_{P_i}(-1)^{P_i}P_i\right]\left[\prod_j\sum_{P’_j}P’_j\right]$$

将每个Young算符作用于其对应的标准Young盘的填充数字的排序，可以得到Young基

外积

直积群$S_m\otimes S_n$为$S_{m+n}$的子群，从$S_m\otimes S_n$的不可约表示诱导出$S_{m+n}$的表示，称为$S_n$和$S_m$的外积，可将其约化为$S_{m+n}$的不可约表示的直和

$$[\mu]\times[\nu]=\sum_\lambda a^\lambda_{\mu\nu}[\lambda]$$

外积的维数为

$$d_{[\mu]\times[\nu]}=\frac{(m+n)!}{m!n!}d_{[\mu]}d_{[\nu]}$$

可通过图形方法求外积的约化

将$[\mu]\times[\nu]$的Young图画出，然后将$[\nu]$对应Young图的处于同一行的方格用相同符号标记，从上往下按行将$[\nu]$的方格加到$[\mu]$上，过程中保证添加方格后的图始终为Young图，且相同符号标记的方格不能处于同一列，添加完成后的Young图满足从右往左数时$[\nu]$上方行标记累计个数始终大于等于下方行标记累计个数，$[\mu]\times[\nu]$的约化即为所有填充方式得到的Young图对应的不可约表示$[\lambda]$的直和