群的定义

在所定义满足结合律的二元乘法下含幺、含逆、封闭的集合$G$称为群，乘法满足交换律称Abel群

群$G$所含元素个数称为其阶，群元$a$的周期称为其阶

若群$G$的子集$H$在相同乘法规则下构成群，则称$H$为$G$的子群，仅含有平凡子群的群称为单群

若$H$为$G$子群，$gH\; ,g\notin H$称为$H$的一个左陪集，$Hg\; ,g\notin H$称为$H$的一个右陪集

若$gH=Hg \quad \forall \;g\in G$，则称$H$为$G$的正规子群

能与其他所有元素对易的群元的集合称为群$G$的中心，能与$a$对易的群元的集合称为$a$在$G$中的中心；群的中心为正规子群，群元在群中的中心为子群，也称$a$的中心化子群

定理1 陪集之间互斥

Lagrange定理 有限群的阶为其子群的阶的整数倍

重排定理

$$gG=Gg=G\quad \forall \;g\in G$$

若$g_i=gg_jg^{-1}$，则称$g_i,g_j$ 共轭，$G$内所有彼此共轭的元素组成一个共轭类

定理4 正规子群一定包含一个完整的共轭类，包含一个完整共轭类的子群一定为正规子群

保持群乘法的映射$f: G\to G’$称为$G$到$G$’的同态，若映射为双射则称同构

同态定理 $G$到$G’$同态的核$H$为$G$的正规子群，商群$G/H$同构于$G’$

Cayley定理 任意$n$阶群均同构于$S_n$的一个子群