定义

建立群元$g\in G$与线性空间算符之间的同态，算符对应的方阵$D(g)$称维群$G$的一个表示，表示的维数为矩阵维数，相似矩阵为等价表示

$$D(g_1)D(g_2)=D(g_1{g}_2)$$

若表示矩阵可通过相似变换化为如下形式，则称其为可约表示；若可以通过相似变换化为方块对角阵，则称完全可约表示，进而分解成不可约表示的直和

$$D(g)=\left(\begin{array}{cc}{D}_1(g)& R(g)\\ O& D_2(g)\end{array}\right)$$

群元的表示矩阵的迹称为其特征标，同一共轭类的元素特征标相同，

$$\chi (g)=\mathrm{Tr}D(g)$$

表示矩阵全为酉阵的表示称为幺正表示

基本定理

定理1 若群$G$含有正规子群$H$，则商群$G/H$的表示也为$G$的非忠实表示；若$D(g)$为$G$的非忠实表示，则$G$存在正规子群$G$使得$D(g)$为$G/H$的忠实表示

定理2 有限群可约表示一定完全可约

定理3 有限群的每个表示均有等价幺正表示

舒尔引理 设$D(g)$为群$G$的$d$维不可约表示，若$M$与所有表示矩阵对易，则$M=\lambda I$

定理5 设$D^{(p)}(g)$与$D^{(q)}(g)$为群$G$的两个不等价不可约幺正表示，维数分别为$d_p,d_q$，若有$d_p\times d_q$矩阵$M$满足$M{D}^{(p)}(g)=D^{(q)}(g)M$，则有

1. 若$d_p\ne d_q$，则$M=0$
2. 若$d_p=d_q$，则$M=0$或$\det M\ne 0$

广义正交定理 设$D^{(p)}(g)$与$D^{(q)}(g)$为$n$阶群$G$的两个不可约表示，维数分别为$d_p,d_q$

$$\sum _{g\in G}{D}_{\mu \nu }^{(p)\ast }{D}_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}^{(q)}=\frac{n}{d_p}{\delta }_{pq}{\delta }_{\mu {\mu }^{\prime }}{\delta }_{\nu {\nu }^{\prime }}$$

Burnside定理 群$G$的所有不等价不可约表示维数的平方和等于$G$的维数

$$d_1^2+d_2^2+\cdots d_r^2=n$$

特征标正交定理 设$D^{(p)}(g)$与$D^{(q)}(g)$为$n$阶群$G$的两个不等价不可约表示

$$\sum _{g\in G}{\chi }^{(p)\ast }{\chi }^{(q)}=n{\delta }_{pq}$$

定理9 群$G$不等价不可约表示的个数等于$G$共轭类的个数

定理10 两个表示等价的充要条件为群元特征标相同

正则表示

用群元作为负载表示的基，可得到正则表示矩阵

$$g{g}_i={\displaystyle \sum _k{g}_k{D}^{(c)}(g{)}_{ki}}$$

$$D^{(c)}(g{)}_{ki}=\{\begin{array}{rl}& 1g_k=g{g}_i\\ & 0\text{other}\end{array}$$

$${\chi }^{(c)}(g)\{\begin{array}{}ng=e\\ 0g\ne e\end{array}$$

可以构造$g_i\sim g_j^{-1}$的乘法表写出正则表示矩阵

由于${\displaystyle \sum _{g\in G}{\chi }^{(c)\ast }{\chi }^{(c)}=n^2>n}$，故正则表示一定为可约表示，可以约化为$G$所有不可约表示的直和，每个不可约表示的重数与其维数相同

$$D^{(c)}(g)=\sum _p{d}_p{D}^{(p)}(g)$$

$${\chi }^{(c)}(g)=\sum _p{d}_p{\chi }^{(p)}(g)$$

基础表示

用子群$H$的陪集作为负载表示的基，可得到基础表示矩阵

$$g(g_{i}H)={\displaystyle \sum _k(g_{k}H)D^{(d)}(g{)}_{ki}}$$

$$D^{(d)}(g{)}_{ki}=\{\begin{array}{rl}& 1g_{k}H=g{g}_{i}H\\ & 0\text{other}\end{array}$$

可以构造$g_{i}H\sim H{g}_j^{-1}$的乘法表写出基础表示矩阵

诱导表示

群$G$的表示一定是其子群$H$的表示，反之从$H$的不可约表示可以诱导出$G$中的不可约表示

先用$H$的陪集构造$G$的基础表示$D^{(d)}(g)$，再将其与$H$的不可约表示$D^{(H)}(h)$直积，即可得到$D^{(H)}(g)$在$G$中的诱导表示$D^{(I)}(g)$

$$D^{(I)}(g)=D^{(d)}(g)\otimes D^{(H)}(h)$$

诱导表示一般为$G$的可约表示，$G$的不可约表示一般为$H$的可约表示

Frobenuis倒易定理 $D^{(I)}(g)=D^{(d)}(g)\otimes D^{(H)}(h)$中包含$G$不可约表示$D^G(g)$的重数等于$D^G(h)$中包含$H$的不可约表示$D^{(H)}(h)$的重数

特征标表

找出群$G$的所有不等价不可约表示${\mathrm{\Gamma }}^{(i)}$和所有共轭类$g_{(i)}$，可以由特征标正交关系求出$g_{(i)}$在${\mathrm{\Gamma }}^{(i)}$下的特征标，从而构造$G$的特征标表${\mathrm{\Gamma }}^{(i)}\sim g_{(i)}$

直积与Clebsch-Gordan系数

不同群的不可约表示的直积为群直积的不可约表示

定理11 同一个群的不可约幺正表示的直积仍为该群的幺正表示，一般为可约表示

$$D^{(p,g)}(g)=D^{(p)}(g)\otimes D^{(q)}(g)$$

$${\chi }^{(p,g)}(g)={\chi }^{(p)}(g){\chi }^{(q)}(g)$$

由群$G$的特征标表可将其不可约表示的直积约化为不可约表示的直和

$$D^{(p,q)}(g)=\sum _{\lambda }{a}_{\lambda }{D}^{(\lambda )}(g)$$

$${\chi }^{(p,q)}(g)=\sum _{\lambda }{a}_{\lambda }{\chi }^{(\lambda )}(g)$$

表示的约化相当于负载基的重新线性组合，组合系数称为Clebsch-Gordan系数

$$w_l^{(\lambda )\alpha }=\sum _{i,j}⟨\begin{array}{cc}p& q\\ i& j\end{array}|\begin{array}{c}\lambda \\ l\end{array}\alpha ⟩w_{i,j}$$

$$w_{i,j}=\sum _{\alpha ,\lambda ,l}⟨\begin{array}{c}\lambda \\ l\end{array}\alpha |\begin{array}{cc}p& q\\ i& j\end{array}⟩w_l^{(\lambda )\alpha }$$

由于为幺正变换

$$⟨\begin{array}{cc}p& q\\ i& j\end{array}|\begin{array}{c}\lambda \\ l\end{array}\alpha ⟩={⟨\begin{array}{c}\lambda \\ l\end{array}\alpha |\begin{array}{cc}p& q\\ i& j\end{array}⟩}^{\ast }$$

有正交关系

$$\sum _{\alpha ,\lambda ,l}⟨\begin{array}{cc}p& q\\ i& j\end{array}|\begin{array}{c}\lambda \\ l\end{array}\alpha ⟩⟨\begin{array}{c}\lambda \\ l\end{array}\alpha |\begin{array}{cc}p& q\\ i^{\prime }& j^{\prime }\end{array}⟩={\delta }_{i{i}^{\prime }}{\delta }_{j{j}^{\prime }}$$

$\alpha >1$时C-G系数不能唯一确定，$\alpha =1$时可以确定到差一个相因子

$${\left|⟨\begin{array}{cc}p& q\\ i& j\end{array}|\begin{array}{c}\lambda \\ k\end{array}⟩\right|}^2=\frac{d_{\lambda }}{n}\sum _{g\in G}{D}_{ii}^{(p)}{D}_{jj}^{(q)}{D}_{kk}^{(\lambda )}$$