定义
建立群元$g\in G$与线性空间算符之间的同态，算符对应的方阵$D(g)$称维群$G$的一个表示，表示的维数为矩阵维数，相似矩阵为等价表示
$$D(g_1)D(g_2)=D(g_1g_2)$$
若表示矩阵可通过相似变换化为如下形式，则称其为可约表示；若可以通过相似变换化为方块对角阵，则称完全可约表示，进而分解成不可约表示的直和
$$D(g)=\begin{pmatrix}
D_1(g)&R(g)\\
O&D_2(g)
\end{pmatrix}$$
群元的表示矩阵的迹称为其特征标，同一共轭类的元素特征标相同，
$$\chi(g)=\Tr{D(g)}$$
表示矩阵全为酉阵的表示称为幺正表示
基本定理
定理1 若群$G$含有正规子群$H$，则商群$G/H$的表示也为$G$的非忠实表示；若$D(g)$为$G$的非忠实表示，则$G$存在正规子群$G$使得$D(g)$为$G/H$的忠实表示
定理2 有限群可约表示一定完全可约
定理3 有限群的每个表示均有等价幺正表示
舒尔引理 设$D(g)$为群$G$的$d$维不可约表示，若$M$与所有表示矩阵对易，则$M=\lambda I$
定理5 设$D^{(p)}(g)$与$D^{(q)}(g)$为群$G$的两个不等价不可约幺正表示，维数分别为$d_p,d_q$，若有$d_p\times d_q$矩阵$M$满足$MD^{(p)}(g)=D^{(q)}(g)M$，则有
- 若$d_p\neq d_q$，则$M=0$
- 若$d_p= d_q$，则$M=0$或$\det{M}\neq 0$
广义正交定理 设$D^{(p)}(g)$与$D^{(q)}(g)$为$n$阶群$G$的两个不可约表示，维数分别为$d_p,d_q$
$$\sum_{g\in G}D^{(p)*}_{\mu\nu}D^{(q)}_{\mu’\nu’}=\frac{n}{d_p}\delta_{pq}\delta_{\mu\mu’}\delta_{\nu\nu’}$$
Burnside定理 群$G$的所有不等价不可约表示维数的平方和等于$G$的维数
$$d_1^2+d_2^2+\cdots d_r^2=n$$
特征标正交定理 设$D^{(p)}(g)$与$D^{(q)}(g)$为$n$阶群$G$的两个不等价不可约表示
$$\sum_{g\in G}\chi^{(p)*}\chi^{(q)}=n\delta_{pq}$$
定理9 群$G$不等价不可约表示的个数等于$G$共轭类的个数
定理10 两个表示等价的充要条件为群元特征标相同
正则表示
用群元作为负载表示的基，可得到正则表示矩阵
$$gg_i=\displaystyle\sum_k g_k D^{(c)}(g)_{ki}$$
$$D^{(c)}(g)_{ki}=\left\lbrace\begin{aligned}
&1\qquad g_k=gg_i\\
&0\qquad \text{other}
\end{aligned}\right.$$
$$\chi^{(c)}(g)\qquad \left\lbrace\begin{array}
&n\qquad g=e\\
0\qquad g\neq e
\end{array}\right.$$
可以构造$g_i\sim g_j^{-1}$的乘法表写出正则表示矩阵
由于$\displaystyle\sum_{g\in G}\chi^{(c)*}\chi^{(c)}=n^2>n$，故正则表示一定为可约表示，可以约化为$G$所有不可约表示的直和，每个不可约表示的重数与其维数相同
$$D^{(c)}(g)=\sum_{p}d_p D^{(p)}(g)$$
$$\chi^{(c)}(g)=\sum_{p}d_p \chi^{(p)}(g)$$
基础表示
用子群$H$的陪集作为负载表示的基，可得到基础表示矩阵
$$g(g_iH)=\displaystyle\sum_k (g_kH) D^{(d)}(g)_{ki}$$
$$D^{(d)}(g)_{ki}=\left\lbrace\begin{aligned}
&1\qquad g_kH=gg_iH\\
&0\qquad \text{other}
\end{aligned}\right.$$
可以构造$g_iH\sim Hg_j^{-1}$的乘法表写出基础表示矩阵
诱导表示
群$G$的表示一定是其子群$H$的表示，反之从$H$的不可约表示可以诱导出$G$中的不可约表示
先用$H$的陪集构造$G$的基础表示$D^{(d)}(g)$，再将其与$H$的不可约表示$D^{(H)}(h)$直积，即可得到$D^{(H)}(g)$在$G$中的诱导表示$D^{(I)}(g)$
$$D^{(I)}(g)=D^{(d)}(g) \otimes D^{(H)}(h)$$
诱导表示一般为$G$的可约表示，$G$的不可约表示一般为$H$的可约表示
Frobenuis倒易定理 $D^{(I)}(g)=D^{(d)}(g) \otimes D^{(H)}(h)$中包含$G$不可约表示$D^{G}(g)$的重数等于$D^{G}(h)$中包含$H$的不可约表示$D^{(H)}(h)$的重数
特征标表
找出群$G$的所有不等价不可约表示$\Gamma^{(i)}$和所有共轭类$g_{(i)}$，可以由特征标正交关系求出$g_{(i)}$在$\Gamma^{(i)}$下的特征标，从而构造$G$的特征标表$\Gamma^{(i)}\sim g_{(i)}$
直积与Clebsch-Gordan系数
不同群的不可约表示的直积为群直积的不可约表示
定理11 同一个群的不可约幺正表示的直积仍为该群的幺正表示，一般为可约表示
$$D^{(p,g)}(g)=D^{(p)}(g)\otimes D^{(q)}(g)$$
$$\chi^{(p,g)}(g)=\chi^{(p)}(g)\chi^{(q)}(g)$$
由群$G$的特征标表可将其不可约表示的直积约化为不可约表示的直和
$$D^{(p,q)}(g)=\sum_\lambda a_\lambda D^{(\lambda)}(g)$$
$$\chi^{(p,q)}(g)=\sum_\lambda a_\lambda \chi^{(\lambda)}(g)$$
表示的约化相当于负载基的重新线性组合，组合系数称为Clebsch-Gordan系数
$$w_l^{(\lambda)\alpha}=\sum_{i,j}\braket{\begin{matrix}p&q\\i&j\end{matrix}}{\begin{matrix}\lambda \\l\end{matrix}\;\;\alpha}w_{i,j}$$
$$w_{i,j}=\sum_{\alpha,\lambda,l}\braket{\begin{matrix}\lambda \\l\end{matrix}\;\;\alpha}{\begin{matrix}p&q\\i&j\end{matrix}}w_l^{(\lambda)\alpha}$$
由于为幺正变换
$$\braket{\begin{matrix}p&q\\i&j\end{matrix}}{\begin{matrix}\lambda \\l\end{matrix}\;\;\alpha}=\braket{\begin{matrix}\lambda \\l\end{matrix}\;\;\alpha}{\begin{matrix}p&q\\i&j\end{matrix}}^*$$
有正交关系
$$\sum_{\alpha,\lambda,l}\braket{\begin{matrix}p&q\\i&j\end{matrix}}{\begin{matrix}\lambda \\l\end{matrix}\;\;\alpha}\braket{\begin{matrix}\lambda \\l\end{matrix}\;\;\alpha}{\begin{matrix}p&q\\i’&j’\end{matrix}}=\delta_{ii’}\delta_{jj’}$$
$\alpha>1$时C-G系数不能唯一确定，$\alpha=1$时可以确定到差一个相因子
$$\left|\braket{\begin{matrix}p&q\\i&j\end{matrix}}{\begin{matrix}\lambda \\k\end{matrix}}\right|^2=\frac{d_\lambda}{n}\sum_{g\in G}D^{(p)}_{ii}D^{(q)}_{jj}D^{(\lambda)}_{kk}$$