椭圆函数的概念
$\mathbb{C}$上具有线性无关的双基本周期$\omega_1,\omega_2$的亚纯函数$f(z)$称为椭圆函数
$f(z)$所有周期的集合$M=\{n_1\omega_1+n_2\omega_2|n_1,n_2\in\mathbb{Z}\}$称为$f(z)$的周期模
$\forall\; a\in\mathbb{C}$，$P=\{a+t_1\omega_1+t_2\omega_2|t_1,t_2\in [0,1)\}$称为$f(z)$的一个基本平行四边形
周期模中所有点形成网格$L$，给定基点$\alpha$，商集$\mathbb{C}/L\cong T^2$对应唯一基本平行四边形
若$f(z)$无极点，由周期性可知其在$\mathbb{C}$上有界，根据刘维尔定理
定理1$\quad$无极点椭圆函数必为常数
取任一基本平行四边形$P$，亚纯函数$f(z)$极点孤立，因此$f(z)$在$\overline{P}$上极点个数有限；
而$1/f(z)$也为亚纯函数，因此$f(z)$在$\overline{P}$上零点个数有限
定理2$\quad$椭圆函数在$\mathbb{C}/L$上只有有限个极点和零点
由于极点非稠密，故可选取基本平行四边形$P$使得$f(z)$在$\partial P$上无极点，由周期性，$f(z)$在$\partial P$上环路积分为零，可知$f(z)$在$\partial P$内留数之和为零
定理3$\quad$椭圆函数在$\mathbb{C}/L$上的留数之和为零
考虑$g(z)=f’(z)/f(z)$，可知$g(z)$也为椭圆函数，且仅含有单极点，$f(z)$零点阶数为$g(z)$在该点留数，$f(z)$极点的阶数为$g(z)$在该点留数相反数，由定理3
定理4$\quad$椭圆函数在$\mathbb{C}/L$上的零点阶数和与极点阶数和相等
考虑$g(z)=f(z)-C$，$g(z)$极点与$f(z)$相同，零点为$f(z)=C$，由定理4
定理5$\quad$椭圆函数在$\mathbb{C}/L$上取到$\overline{\mathbb{C}}$所有值的阶数和相等，称为椭圆函数的阶数
由定理3，可知椭圆函数阶数大于等于2
选取基本平行四边形$P$使得$f(z)$在$\partial P$上无极点，考虑$f(z)$重数加权的零点坐标$\alpha_ja_j$与极点坐标$\beta_{k}b_{k}$，在$\overline{P}$上加和作差
$$\begin{aligned}
&\sum_{j=1}^m\alpha_ja_j-\displaystyle\sum_{k=1}^n\beta_{k}b_{k}=\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial P}\frac{zf’(z)}{f(z)}\dd z\\
\qquad\\
&= \frac{1}{2\pi i}\left[\left(\int_{a}^{a+\omega_1}-\int_{a+\omega_2}^{a+\omega_1+\omega_2}\right)+\left(\int_{a+\omega_1}^{a+\omega_1+\omega_2}-\int_{a}^{a+\omega_2}\right)\right]\frac{zf’(z)}{f(z)}\dd z\\
\qquad\\
&=\frac{1}{2\pi i}\left[-\omega_2\int_{a}^{a+\omega_1}\frac{f’(z)}{f(z)}\dd z+\omega_1\int_{a}^{a+\omega_2}\frac{f’(z)}{f(z)}\dd z\right]\\
\qquad\\
&=-n_2\omega_2+n_1\omega_1
\end{aligned}$$
定理6 $\quad$椭圆函数在$\mathbb{C}/L$上的加权零点坐标之和与极点坐标之和的差属于其周期模
Weierstrass椭圆函数
由上可知，最简单的椭圆函数阶数为2，其在$\mathbb{C}/L$上有一个二阶极点或两个单极点，
维尔斯特拉斯通过构造二阶极点的函数发展理论，雅可比则研究两个单极点的情况，
前者适合理论发展，后者适合解决实际问题
取周期模$M=\{n_1\omega_1+n_2\omega_2|n_1,n_2\in\mathbb{Z}\}$，$\omega\in M$，
$P_n$为以$\pm n(\omega_1+\omega_2),\pm n(\omega_1-\omega_2)$为顶点的平行四边形，
可知$P_n$上含有$8n$个$M$中的周期，令原点到$\partial P_1$的距离为$d$，考虑如下级数
$$\begin{aligned}\sum_{\omega \neq 0}\frac{1}{|\omega|^{2+\epsilon}}&=\sum_{n=1}^\infty\sum_{\omega \in P_n}\frac{1}{|\omega|^{2+\epsilon}}\\
\qquad\\
&\le \frac{1}{d^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1+\epsilon}}
\end{aligned}$$
引理1$\quad$ $\displaystyle\sum_{\omega \neq 0}\frac{1}{|\omega|^{\alpha}}$在$\alpha>2$时收敛
$\wp$ 函数
$$\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\neq 0}\left[\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right]$$
$$\wp’(z)=-2\sum_{\omega}\frac{1}{(z-\omega)^{3}}$$
由引理1可知$\wp(z)$与$\wp’(z)$均为$\mathbb{C}$上亚纯偶函数，又$\wp’(z)=\wp’(z+\omega)$，积分有$\wp(z)=\wp(z+\omega)+C$，取$z=-\omega/2$，因为$\wp(z)$为偶函数，可得$C=0$
故$\wp(z)$为基本周期为$\omega_1,\omega_2$的二阶椭圆函数，$\omega\in M$为其二阶极点
将$\wp(z)$在$z=0$附近洛朗展开
$$\begin{aligned}\wp(z)&=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\neq 0}\left[\frac{1}{\omega^2}\left(1+\frac{z}{\omega}+\left(\frac{z}{\omega}\right)^2+\cdots\right)^2-\frac{1}{\omega^{2}}\right]\\
\quad\\
&=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\neq 0}\left[\frac{1}{\omega^2}\left(1+2\frac{z}{\omega}+3\left(\frac{z}{\omega}\right)^2+\cdots\right)-\frac{1}{\omega^{2}}\right]\\
\quad\\
&=\frac{1}{z^2}+\sum_{k=1}^{\infty}c_kz^k\qquad c_k=(k+1)\sum_{\omega\neq 0}\frac{1}{\omega^{k+2}}\end{aligned}$$
由$\omega$对称性知，当$k$为奇数时，$c_k=0$，$\wp(z)$的洛朗展式简化为
$$\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{m=1}^{\infty}c_mz^{2m}\qquad c_m=(2m+1)\sum_{\omega\neq 0}\frac{1}{\omega^{2m+2}}$$
引入记号$b_m=\displaystyle\sum_{\omega\neq 0}\frac{1}{\omega^{m}}$，用$b_m$表示$\wp(z)$和$\wp’(z)$的洛朗展式
$$\wp(z)=\displaystyle\frac{1}{z^2}+3b_4z^2+5b_6z^4+\cdots$$
$$\wp’(z)=\displaystyle-\frac{2}{z^3}+6b_4z+20b_6z^3+\cdots$$
可构造$\wp(z)$和$\wp’(z)$的不含极点的多项式
$$P(z)=\wp’^2(z)-4\wp^3(z)+60b_4\wp(z)$$
由定理1知椭圆函数$P(z)$为常数，计算等式右边常数项为$-140b_6$
令$g_2=60b_4$，$g_3=140b_6$，可得微分方程
$$\wp’^2(z)=4\wp^3(z)-g_2\wp(z)-g_3$$
令$u=\wp(z)$，可解得
$$z=\int_{\infty}^u\frac{\dd u}{\sqrt{4u^3-g_2u-g_3}}$$
说明$\wp(z)$为椭圆积分的逆，根式下多项式不能有重根，否则积分将会有初等表示
重根判别式为$\Delta=g_2^3-27g_3^2$，无重根对应$\Delta\neq 0$
设$\wp’(z)$的零点为$e_1,e_2,e_3$，微分方程可写为
$$\wp’^2(z)=4(\wp(z)-e_1)(\wp(z)-e_2)(\wp(z)-e_3)$$
由$\wp’(z)$为奇函数和其周期性可以定出
$$\displaystyle e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2})\quad e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2})\quad e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})$$
由于$1/\wp’(z)$为三阶椭圆函数，由留数之和为零可知$\wp’(z)$零点互异
由韦达定理可得
$$e_1+e_2+e_3=0$$
$$e_1e_2+e_2e_3+e_3e_1=-\frac{g_2}{4}$$
$$e_1e_2e_3=\frac{g_3}{4}$$
$\omega_1=4,\omega_2=4i$ 时，$e_1=-e_2=\displaystyle\frac{\displaystyle\Gamma\left(1/4\right)^{4}}{128\pi},e_3=0$，$\wp(z)$图像如下
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$\zeta$ 函数
由于$\wp(z)$仅有二阶极点，留数为零，故其可写成某单值函数的导数，习惯上记为$-\zeta(z)$，直接对$\wp(z)$表达式积分并要求$\zeta(z)$为奇函数可得
$$\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega\neq 0}\left(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2}\right)$$
由引理1知$\zeta(z)$同样为$\mathbb{C}$上亚纯函数，利用$\wp(z)$周期性和对称性可知
$$\zeta(z+\omega_i)=\zeta(z)+\eta_i\qquad \eta_i=2\zeta\left(\frac{\omega_i}{2}\right)\qquad i=1,2$$
因此称$\zeta(z)$为准周期函数，$\eta_1,\eta_2$为$\zeta(z)$的基本准周期
选取基本平行四边形$P$使得$\zeta(z)$在$\partial P$上无极点，对$\zeta(z)$在$\partial P$上积分
$$\begin{aligned}
\int_{\partial P}\zeta(z)\dd z&=\left[\left(\int_{a}^{a+\omega_1}-\int_{a+\omega_2}^{a+\omega_1+\omega_2}\right)+\left(\int_{a+\omega_1}^{a+\omega_1+\omega_2}-\int_{a}^{a+\omega_2}\right)\right]\zeta(z)\dd z\\
\quad\\
&=-\eta_2\omega_1+\eta_1\omega_2
\end{aligned}$$
由于$\zeta(z)$在$\partial P$内留数为1，故有Legendre关系
$$\eta_1\omega_2-\eta_2\omega_1=2\pi i$$
$\omega_1=4,\omega_2=4i$ 时$\zeta(z)$图像如下
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$\sigma$ 函数
继续对$\zeta(z)$进行积分，由于积分结果为多值对数函数，故用指数函数来消除多值性，并且需将积分后的级数每项减去常数$\ln(-\omega)$以保证其收敛性，将此函数记为$\sigma(z)$
$\sigma(z)=\exp\left[{\displaystyle\int\zeta(z)}-\displaystyle\sum_{\omega\neq 0}\ln(-\omega)\right]$，即$\displaystyle\frac{\sigma’(z)}{\sigma(z)}=\zeta(z)$，可得其典范乘积表达式
$$\sigma(z)=z\prod_{\omega\neq 0}\left(1-\frac{z}{\omega}\right)\exp\left[\frac{z}{\omega}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{\omega}\right)^2\right]$$
从表达式可知$\sigma(z)$为奇函数
令$\displaystyle E(z)=(1-z)\exp\left(z+\frac{z^2}{2}\right)=\displaystyle\exp\left(-\sum_{k=3} \frac{z^k}{k}\right)$
利用不等式$|e^z-1|\le e^{|z|}-1$和$e^x-1\le xe^x$
引理2$\quad$令$\displaystyle E(z)=(1-z)\exp\left(z+\frac{z^2}{2}\right)$，则 $\forall\;|z|\le \displaystyle\frac{1}{2},|E(z)-1|\le 2|z|^3$
由引理2，$\sigma(z)$为$\mathbb{C}$上整函数
由$\zeta(z)$准周期性，$\displaystyle\frac{\sigma’(z+\omega_1)}{\sigma(z+\omega_1)}=\frac{\sigma’(z)}{\sigma(z)}+\eta_1$，积分并利用$\sigma(z)$为奇函数可得
$$\sigma(z+\omega_i)=-\sigma(z)\exp\left(\eta_i z+\frac{\eta_i\omega_i}{2}\right)\qquad i=1,2$$
$\omega_1=4,\omega_2=4i$ 时$\sigma(z)$图像如下，其中模做了对数处理 $|w|\mapsto\ln(1+|w|)$
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定理7$\quad$若$f(z)$为$n$阶椭圆函数，将$f(z)$在$\mathbb{C}/L$上所有高阶零点和极点按阶数拆分后单独计数，记$f(z)$所有零点为$a_k$，所有极点为$b_k$，$1\le k\le n$，则存在常数$c$，使得$f(z)$可表示为如下形式
$$f(z)=c\prod_{k=1}^{n}\frac{\sigma(z-a_k)}{\sigma(z-b_k)}$$
证明$\quad$令 $\displaystyle\Omega=\sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{k=1}^{n} b_k$，$F(z)=\displaystyle\left[\prod_{k=1}^{n-1}\frac{\sigma(z-a_k)}{\sigma(z-b_k)}\right]\frac{\sigma(z-a_n)}{\sigma(z-b_n-\Omega)}$
$F(z)$拥有与$f(z)$相同的零点与极点，由$\sigma(z)$性质
$$F(z+\omega_i)=F(z)\frac{\exp\left(\displaystyle-\eta_i\sum_{k=1}^{n} a_k\right)}{\exp\left(\displaystyle-\eta_i\sum_{k=1}^{n} b_k-\eta_i\Omega\right)}=F(z)\qquad i=1,2$$
$F(z)$拥有与$f(z)$相同的基本周期，因此$f(z)/F(z)$为无极点椭圆函数
由定理1，$f(z)=cF(z)$
由定理6，$\Omega\in M$，总可以选取恰当的基本平行四边形使得$\Omega=0$，因此定理7成立
由定理7，取$u\notin M$，$\wp(p)-\wp(u)$可写为下式，除以$\sigma^{2}(u)$是以防$\pm u$不在基本平行四边形中
$$\wp(z)-\wp(u)=-\frac{\sigma(z+u)\sigma(z-u)}{\sigma^2(z)\sigma^2(u)}$$
Jacobi椭圆函数
记$\omega_3=\omega_1+\omega_2$，$\eta_3=\eta_1+\eta_2$，由上节内容
$$\displaystyle\wp(z)-e_k=\wp(z)-\wp(\frac{\omega_k}{2})=\frac{\sigma^2(\displaystyle z-\frac{\omega_k}{2})e^{\eta_kz}}{\sigma^2(z)\sigma^2(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}=\frac{\sigma^2(\displaystyle z+\frac{\omega_k}{2})e^{-\eta_kz}}{\sigma^2(z)\sigma^2(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}$$
令$\displaystyle\sigma_k(z)=-\frac{\sigma(\displaystyle z-\frac{\omega_k}{2})e^{\eta_kz/2}}{\sigma(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}=\frac{\sigma(\displaystyle z+\frac{\omega_k}{2})e^{-\eta_kz/2}}{\sigma(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}$，易知$\sigma_k(z)$为偶函数
$$\wp(z)-e_k=\left(\frac{\sigma_k(z)}{\sigma(z)}\right)^2$$
$$\sigma_k(z+\omega_l)=(1-2\delta_{kl})\sigma_k(z)\exp\left(\eta_lz+\frac{\eta_l\omega_l}{2}\right)$$
由 $\wp’^2(z)=4(\wp(z)-e_1)(\wp(z)-e_2)(\wp(z)-e_3)$，比较原点处奇异部分可得
$$\wp’(z)=-2\frac{\sigma_1(z)\sigma_2(z)\sigma_3(z)}{\sigma^3(z)}$$
令$\displaystyle\lambda=\sqrt{e_1-e_2},t=\frac{z}{\lambda}$，得到三个雅可比椭圆函数
$$\text{sn}\,z=\lambda\frac{\sigma(t)}{\sigma_2(t)}\qquad\text{cn}\,z=\frac{\sigma_1(t)}{\sigma_2(t)}\qquad\text{dn}\,z=\frac{\sigma_3(t)}{\sigma_2(t)}$$
令$\displaystyle K_1=\frac{\lambda\omega_1}{2},iK_2=\frac{\lambda\omega_2}{2}$，可验证雅可比椭圆函数具有如下极点、零点和周期，三个函数均为具有两个单极点的二阶椭圆函数
| 零点 | 极点 | 周期 | |
|---|---|---|---|
| $\text{sn}\,z$ | $0$，$2K_1$ | $iK_2$，$2K_1+iK_2$ | $4K_1$，$2iK_2$ |
| $\text{cn}\,z$ | $K_1$，$3K_1$ | $iK_2$，$2K_1+iK_2$ | $4K_1$，$2K_1+2iK_2$ |
| $\text{dn}\,z$ | $K_1+iK_2$，$K_1+3iK_2$ | $iK_2$，$3iK_2$ | $2K_1$，$4iK_2$ |
雅可比椭圆函数只由基本周期比 $\tau=\displaystyle\frac{\omega_2}{\omega_1}$决定，与$\omega_1,\omega_2$的绝对大小无关
$\tau=i$ 时$K_1=\displaystyle\frac{\Gamma(1/4)^2}{4\sqrt{\pi}}$，$iK_2=i\displaystyle\frac{\Gamma(1/4)^2}{4\sqrt{\pi}}$，雅可比椭圆函数图像如下
| $\text{sn}\,z$ | $\text{cn}\,z$ | $\text{dn}\,z$ |
|---|---|---|
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引入模常数 $k=\displaystyle\sqrt{\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}}$，也仅由$\tau$决定，雅可比函数之间关系为
$$\text{sn}^2\,z+\text{cn}^2\,z=1\qquad k^2\text{sn}^2\,z+\text{dn}^2\,z=1$$
对式 $\wp(z)-e_2=\displaystyle\left(\frac{\sigma_2(z)}{\sigma(z)}\right)^2$ 微分并利用上述关系可得
$$\text{sn}’\,z=\sqrt{(1-\text{sn}^2\,z)(1-k^2\text{sn}^2\,z)}$$
$$z=\int_0^{\text{sn}\,z}\frac{\dd u}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}$$
说明$\text{sn}\,z$也为椭圆积分的逆，由Schwarz-Christoff公式，$0<k<1$时，此积分将$w=\text{sn}\,z$的上半平面共形映为$z$平面的长方形
$$0\mapsto 0\qquad 1\mapsto K_1\qquad \frac{1}{k}\mapsto K_1+iK_2\qquad\infty\mapsto iK_2$$
映射后长方形区域为 $x\in [-K_1,K_1],y\in [0,K_2]$
$\tau=i$ 时 $k=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$，映射如图所示
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椭圆模函数
周期模$M$中的一组线性无关的基本周期$\omega_1,\omega_2$称为$M$的基
不同基构成的基本平行四边形有向面积相等，基之间的线性变换$A$称为幺模变换
$$\begin{pmatrix}\omega_2’\\\omega_1’\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}\omega_2\\\omega_1\end{pmatrix}\qquad \det{A}=1$$
定理8$\quad$ $M$的任意两组基由一幺模变换相联系
所有幺模变换构成模群 $SL(2,\mathbb{Z})$，其存在mod 2 同余子群 $SL(2,\mathbb{Z}_2)(\text{mod}\; 2)$
下图蓝色区域称为模群的基本域 $D$
令 $\tau=\displaystyle\frac{\omega_2}{\omega_1}$，且规定 $\Im\;\tau>0$，否则$\tau\mapsto -\tau$，基本域中的$\tau$对应的基称为典范基
定理9$\quad$ $M$存在唯一典范基，即存在唯一 $\tau\in D$
在线性变换构成的群下不变的亚纯函数称自守函数，模群子群下的自守函数称模函数
由上节知模常数 $k$ 仅与 $\tau$ 有关，引入 $\lambda(\tau)=k^2$
$\lambda$ 函数
$$\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}$$
由$e_k$互异知$\lambda(\tau)$为定义在上半复平面 $\Im\;\tau>0$ 的不取$\boldsymbol{0,1}$的解析函数
在 $SL(2,\mathbb{Z}_2)$ 对基 $\omega_1,\omega_2$ 作用下 $ \tau \mapsto \tau’$ 可能不再处于基本域中，$\lambda(\tau)\mapsto \lambda(\tau’)$
| A(mod 2) | $\lambda(\tau’)$ | A(mod 2) | $\lambda(\tau’)$ |
|---|---|---|---|
| $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ | $\lambda(\tau)$ | $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ | $\displaystyle\frac{\lambda(\tau)-1}{\lambda(\tau)}$ |
| $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ | $1-\lambda(\tau)$ | $\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ | $\displaystyle\frac{1}{\lambda(\tau)}$ |
| $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ | $\displaystyle\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}$ | $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ | $\displaystyle\frac{1}{1-\lambda(\tau)}$ |
可知$\lambda(\tau)$关于模群的子群 $I_2(\text{mod}\;2)$ 自守，因此称$\lambda(\tau)$为椭圆模函数
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \in I_2(\text{mod}\;2)$，可知$\lambda(\tau+2)=\lambda(\tau)$，即$\lambda(\tau)$周期为2
这六个线性变换将基本域 $D$ 拓展为以下区域 $\Omega$
蓝色区域由基本域右半部分经六种变换得到，橙色区域由蓝色区域关于虚轴对称得到
定理10$\quad$ $\lambda(\tau)$将 $\Omega$ 一对一共形映到 $\mathbb{C}\backslash\{0,1\}$
虚轴映为实轴，$\Re\;\Omega>0$映为上半平面，$\Re\;\Omega<0$映为下半平面
边界点的对应关系为
$$0,1,\infty\mapsto 1,\infty,0$$
由$\lambda(\tau)\mapsto\lambda(\tau’)$ 的模群作用可知
$$\lambda(i)=\displaystyle\frac{1}{2},\;\;\lambda(1+i)=-1,\;\;\lambda\left(\frac{1+i}{2}\right)=2$$
$$\lambda(e^{i\pi/3})=e^{i\pi/3},\;\;\lambda(e^{i2\pi/3})=e^{-i\pi/3}$$
$\lambda(\tau)$图像如下
$J$ 函数
利用$\lambda(\tau)$可构造关于整个模群自守的Klein J函数，可知其周期为1
$$J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}$$
可用 $e_k$ 或 $g_2,g_3$ 表示为
$$J(\tau)=-4\frac{(e_1e_2+e_2e_3+e_3e_1)^3}{(e_1-e_2)^2(e_2-e_3)^2(e_3-e_1)^2}$$
$$J(\tau)=\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}$$
可知$J(\tau)$为上半平面解析函数且能取遍$\mathbb{C}$上所有值，讨论$J(\tau)$取$0,1$的条件
$$J(\tau)=0\Leftrightarrow (\lambda-e^{i\pi/3})^3(\lambda-e^{-i\pi/3})^3=0$$
$$J(\tau)=1\Leftrightarrow (2\lambda-1)^2(\lambda+1)^2(\lambda-2)^2=0$$
由$\lambda(\tau)$取值知$\tau=e^{i\pi/3}$ 为$J(\tau)$三重零点，$\tau=i,\displaystyle\frac{1+i}{2}$为$J(\tau)-1$二重零点
可以发现这些点位于$\Omega$蓝色区域与橙色区域交界处，且相交曲线条数即为取值重数
定理11$\quad$ $J(\tau)$将基本域 $D$ 一对一共形映到 $\mathbb{C}$
虚轴映为实轴，$\Re\;D>0$映为上半平面，$\Re\;D<0$映为下半平面
$J(\tau)$图像如下
