产生算符和湮灭算符波函数|n1n2⋯nm⟩表示在态λ上粒子数为nλ, 定义产生算符aλ†,湮灭算符aλ,占有数算符Nλ |n1n2⋯nm⟩=∏λ=1m1nλ!(aλ†)nλ|0⟩ ⟨n1n2⋯nm|=⟨0|∏λ=m11nλ!(aλ)nλ Nλ=aλ†aλ=nλ 玻色子算符对易关系 [aλ,aλ′]=[aλ†,aλ′†]=0 [aλ,aλ′†]=δλλ′ 费米子算符对易关系 {aλ,aλ′}={aλ†,aλ′†}=0 {aλ,aλ′†}=δλλ′ 算符二次量子化单体作用 O^2nd=∑μν⟨μ|O^|ν⟩aμ†aν 二体作用 V^2nd=12∑μμ′∑νν′(μν|V^|μ′ν′)aμ†aν†aν′aμ′ 自旋算符S^z=ℏ2(a+†a+†−a−†a−) S^=∑αα′⟨α|σ|α′⟩aα†aα′ 哈密顿量H^=∫d3xψ(x)†[−ℏ22m∇2+U(x)]ψ(x)+12∫d3xd3x′V(x−x′)ψ(x)†ψ(x′)†ψ(x′)ψ(x) ψ(x)†,ψ(x)为产生湮灭算符的连续化,满足与aλ,aλ′相似的对易关系,只需将δλλ′替换为三维δ函数δ(x−x′) 电子气电子动量与自旋共同本征态|kλ⟩ ⟨xλ|kλ⟩=1Veik⋅xηλ 电子、正电荷背景与二者相互作用哈密顿量,先将库伦势加上指数衰减因子μ防止积分发散,再令μ→0 H=He+Hb+Heb Hb=e22∫d3xd3x′n(x)n(x′)exp(−μ|x−x′|)|x−x′|=2πN2e2μ2V Heb=−e2∑i=1N∫d3xn(x)exp(−μ|x−ri|)|x−ri|=−4πN2e2μ2V He=T+U T=∑σ∫d3kℏ2k22makσ†akσ U=e22∑ij∑σσ′∑λλ′∫d3kd3k′d3pd3p′(kσ,pλ|exp(−μ|ri−rj|)|ri−rj||k′σ′,p′λ′)akσ†apλ†ap′λ′ak′σ′=2π(N2−N)e2μ2V+2πe2V∑σλ∫q≠01q2ak+q,σ†ak′−q,λ†ak′λakσ H=H0+H1=∑σ∫d3kℏ2k22makσ†akσ+2πe2∑σλ∫q≠0d3qd3kd3k′1q2ak+q,σ†ak′−q,λ†ak′λakσ ⟨H⟩=3ℏ2kF2N10m