产生算符和湮灭算符

波函数|n1n2nm表示在态λ上粒子数为nλ

定义产生算符aλ湮灭算符aλ占有数算符Nλ

|n1n2nm=λ=1m1nλ!(aλ)nλ|0

n1n2nm|=0|λ=m11nλ!(aλ)nλ

Nλ=aλaλ=nλ

玻色子算符对易关系

[aλ,aλ]=[aλ,aλ]=0

[aλ,aλ]=δλλ

费米子算符对易关系

{aλ,aλ}={aλ,aλ}=0

{aλ,aλ}=δλλ

算符二次量子化

单体作用

O^2nd=μνμ|O^|νaμaν

二体作用

V^2nd=12μμνν(μν|V^|μν)aμaνaνaμ

自旋算符

S^z=2(a+a+aa)

S^=ααα|σ|αaαaα

哈密顿量

H^=d3xψ(x)[22m2+U(x)]ψ(x)+12d3xd3xV(xx)ψ(x)ψ(x)ψ(x)ψ(x)

ψ(x),ψ(x)为产生湮灭算符的连续化,满足与aλ,aλ相似的对易关系,只需将δλλ替换为三维δ函数δ(xx)

电子气

电子动量与自旋共同本征态|kλ

xλ|kλ=1Veikxηλ

电子、正电荷背景与二者相互作用哈密顿量,先将库伦势加上指数衰减因子μ防止积分发散,再令μ0

H=He+Hb+Heb

Hb=e22d3xd3xn(x)n(x)exp(μ|xx|)|xx|=2πN2e2μ2V

Heb=e2i=1Nd3xn(x)exp(μ|xri|)|xri|=4πN2e2μ2V

He=T+U

T=σd3k2k22makσakσ

U=e22ijσσλλd3kd3kd3pd3p(kσ,pλ|exp(μ|rirj|)|rirj||kσ,pλ)akσapλapλakσ=2π(N2N)e2μ2V+2πe2Vσλq01q2ak+q,σakq,λakλakσ

H=H0+H1=σd3k2k22makσakσ+2πe2σλq0d3qd3kd3k1q2ak+q,σakq,λakλakσ

H=32kF2N10m