Stiefel-Whitney Classes

定理1$\quad$$\mathbb{R}^n$丛$\xi$为平凡丛当且仅当且其拥有$n$个线性独立的截面

定理2$\quad$实射影空间$\mathbb{P}^n$上典范线丛$\gamma_n^1$非平凡

由如下四条公理定义底流形$B$上n维向量丛$\xi$的 Stiefel-Whitney Classes $\text{w}_i(\xi)$

公理1

$$\text{w}_i(\xi)\in H^i(B(\xi);\mathbb{Z}_2)$$

$$\text{w}_0(\xi)=1$$

$$\text{w}_i(\xi)=0\quad\text{for}\; i>n$$

公理2(Naturality)$\quad$若$f:B(\xi)\to B(\eta)$ 被丛映射覆盖，则

$$\text{w}_i(\xi)=f^*\text{w}_i(\eta)$$

公理3(Whitney Product)$\quad$若$\xi,\eta$为相同底空间上向量丛，则

$$\text{w}_k(\xi\oplus\eta)=\sum_{i=0}^k \text{w}_i(\xi)\smile \text{w}_{k-i}(\eta)$$

在无歧义情况下将$\smile$省略

公理4$\quad$对圆周$\mathbb{P}^1$上典范线丛$\gamma_1^1$

$$\text{w}_1(\gamma_1^1)\neq 0$$

推论1$\quad$若$\xi\cong\eta$

$$\text{w}_i(\xi)=\text{w}_i(\eta)$$

推论2,3$\quad$若$\varepsilon$为平凡丛，则

$$\text{w}_i(\varepsilon)=0\quad\text{for}\; i>0$$

$$\text{w}_i(\varepsilon\oplus\eta)=\text{w}_i(\eta)$$

推论4$\quad$若$\xi$为配备欧式度规的$\mathbb{R}^n$丛，且$\xi$拥有$k$个线性独立的截面，则

$$\text{w}_i(\xi)=0\quad\text{for}\; i>n-k$$

对于$k=1$的情况，线性独立条件即截面处处不为零

记$H^\Pi(B;\mathbb{Z}_2)$为以下无穷级数构成的环

$$a=\sum_{i=0}^\infty a_i\qquad a_i\in H^i(B;\mathbb{Z}_2)$$

环中乘法满足交换律与结合律

$$ab=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+\cdots$$

定义 total Stiefel-Whitney class $\text{w}(\xi)$为环中元素

$$\text{w}(\xi)=1+\sum_{i=1}^\infty \text{w}_i(\xi)$$

现在Whitney Product Theorem可写为

$$\text{w}(\xi\oplus\eta)=\text{w}(\xi)\text{w}(\eta)$$

所有$\text{w}$构成交换群，记$\text{w}$的逆为$\overline{\text{w}}$

$$\overline{\text{w}}=1+\sum_{i=1}^\infty \overline{\text{w}}_i$$

$$\overline{\text{w}}_1=\text{w}_1\qquad \overline{\text{w}}_n=\sum_{i=1}^{n-1}\text{w}_i\overline{\text{w}}_{n-i}+\text{w}_n$$

由于切丛与法丛直和为平凡丛

定理3(Whitney Duality)$\quad$设$M$为欧式空间中流形，$\tau_M$ 为其切丛，$\nu$ 为其法丛

$$\text{w}(\tau_M)\text{w}(\nu)=1$$

$S^n$ 切丛和法丛的 total Stiefel-Whitney class 均为$1$，以下将$\text{w}(\tau_M)$简写为$\text{w}(M)$

引理1$\quad$对 $i\le n$，$H^i(\mathbb{P}^n;\mathbb{Z}_2)$为2阶循环群，若记$a$为$H^1(\mathbb{P}^n;\mathbb{Z}_2)$非零元，
则在乘积$\smile$下$a^i$为$H^i(\mathbb{P}^n;\mathbb{Z}_2)$非零元

因此$H^\bullet(\mathbb{P}^n;\mathbb{Z}_2)$可视作$\mathbb{Z}_2$上拥有一个生成元$a$，并且满足关系$a^{n+1}=0$的代数

$\mathbb{P}^n$上典范线丛$\gamma_n^1$的总示性类为

$$\text{w}(\gamma_n^1)=1+a$$

由于$\mathbb{P}^n$上典范线丛$\gamma_n^1$为平凡丛$\varepsilon^{n+1}$的子丛，记$\gamma^\perp$为$\gamma_n^1$正交补子丛，则

$$\text{w}(\gamma^\perp)=1+a+a^2+\cdots+a^n$$

引理2$\quad$若$\tau$为$\mathbb{P}^n$切丛，则$\tau\cong \text{Hom}(\gamma_n^1,\gamma^\perp)$

引理3$\quad$若$\varepsilon^1$为$\mathbb{P}^n$上平凡线丛，则

$$\tau\oplus\varepsilon^1\cong \text{Hom}(\gamma_n^1,\gamma^\perp\oplus\gamma_n^1)\cong\bigoplus_{i=0}^n\gamma_n^1$$

定理4$\quad$

$$\text{w}(\mathbb{P}^n)=(1+a)^{n+1}$$

推论5(Stiefel)$\quad$$\text{w}(\mathbb{P}^n)=1$ 当且仅当 $n+1=2^m$

已知 $\mathbb{P}^1,\mathbb{P}^3,\mathbb{P}^7$ 可平行化，但更高阶的射影空间不可平行化

商代数

若$M$切丛平凡，则称$M$可平行化

定理5(Stiefel)$\quad$若存在无零因子双线性算子$p$

$$p:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$$

则$\mathbb{P}^{n-1}$为可平行化流形，即 $n=2^m$

$n=1,2,4,8$ 分别对应实数、复数、四元数、八元数，不存在$n>8$的商代数

浸入

当$n=2^m$时

$$\text{w}(\mathbb{P}^n)=(1+a)^{2^m+1}=1+a+a^{n}$$

$$\overline{\text{w}}(\mathbb{P}^n)=1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}$$

若$\mathbb{P}^n$能浸入$\mathbb{R}^{n+k}$中，$\mathbb{P}^n$法丛$\nu$示性类$\text{w}(\nu)=\overline{\text{w}}(\mathbb{P}^n)$，故$\nu$维度至少为$n-1$

定理6$\quad$若$\mathbb{P}^{2^m}$能浸入$\mathbb{R}^{2^m+k}$中，则 $k\ge 2^m-1$

定理7(Witney)$\quad$任意$n>1$维光滑紧致流形均可浸入$\mathbb{R}^{2n-1}$中

Stiefel-Whitney Number

若$M$为闭$n$维流形(可以非连通)，则存在唯一基本同调类

$$\mu_M\in H_n(M,\mathbb{Z}_2)$$

对任意上同调类 $v\in H^n(M;\mathbb{Z}_2)$，可以定义Kronecker指标，记为$v[M]$

$$v[M]=\langle v,\mu_M\rangle\in\mathbb{Z}_2$$

令$r_1,r_2,\cdots,r_n$为非负整数，满足

$$r_1+2r_2+3r_3+\cdots+nr_n=n$$

则对任意向量丛$\xi$可以构造单项式

$$\text{w}_1^{r_1}(\xi)\text{w}_2^{r_2}(\xi)\cdots \text{w}_n^{r_n}(\xi)\in H^n(B(\xi),\mathbb{Z}_2)$$

若取底流形为$M$，$\xi$为$M$切丛$\tau_M$，则可定义与此单项式相关的Stiefel-Whitney数

$$\text{w}_1^{r_1}\text{w}_2^{r_2}\cdots \text{w}_n^{r_n}[M]$$

考虑$\mathbb{P}^n$与其切丛$\tau$，根据$\text{w}(\mathbb{P}^n)=(1+a)^{n+1}$可知

当$n$为偶数，$\text{w}_1^n[\mathbb{P}^n],\text{w}_n[\mathbb{P}^n]\neq 0$，若$n=2^m$，则其他Stiefel-Whitney数均为零

当$n$为奇数，$\text{w}(\mathbb{P}^n)=(1+a^2)^{k}$，可知所有Stiefel-Whitney数均为零

定理8(Pontrjagin)$\quad$若$B$为$n+1$维光滑紧致带边流形，其边界为$M$，
则$M$的所有Stiefel-Whitney数均为零

定理9(Thom)$\quad$若$M$的所有Stiefel-Whitney数均为零，则$M$可视为某光滑紧致带边流形的边界

两个闭$n$维流形属于同一个无定向配边类当且仅当其不交并为某光滑紧致$n+1$维流形的边缘

推论6$\quad$两个闭$n$维流形属于同一个配边类当且仅当其对应的Stiefel-Whitney数相同