Stiefel-Whitney Classes

定理1$$${\mathbb{R}}^n$丛$\xi$为平凡丛当且仅当且其拥有$n$个线性独立的截面

定理2$$实射影空间${\mathbb{P}}^n$上典范线丛${\gamma }_n^1$非平凡

由如下四条公理定义底流形$B$上n维向量丛$\xi$的 Stiefel-Whitney Classes ${\text{w}}_i(\xi )$

公理1

$${\text{w}}_i(\xi )\in H^i(B(\xi );{\mathbb{Z}}_2)$$

$${\text{w}}_0(\xi )=1$$

$${\text{w}}_i(\xi )=0\text{for}i>n$$

公理2(Naturality)$$若$f:B(\xi )\to B(\eta )$ 被丛映射覆盖，则

$${\text{w}}_i(\xi )=f^{\ast }{\text{w}}_i(\eta )$$

公理3(Whitney Product)$$若$\xi ,\eta$为相同底空间上向量丛，则

$${\text{w}}_k(\xi \oplus \eta )=\sum _{i=0}^k{\text{w}}_i(\xi )⌣{\text{w}}_{k-i}(\eta )$$

在无歧义情况下将$⌣$省略

公理4$$对圆周${\mathbb{P}}^1$上典范线丛${\gamma }_1^1$

$${\text{w}}_1({\gamma }_1^1)\ne 0$$

推论1$$若$\xi \cong \eta$

$${\text{w}}_i(\xi )={\text{w}}_i(\eta )$$

推论2,3$$若$\epsilon$为平凡丛，则

$${\text{w}}_i(\epsilon )=0\text{for}i>0$$

$${\text{w}}_i(\epsilon \oplus \eta )={\text{w}}_i(\eta )$$

推论4$$若$\xi$为配备欧式度规的${\mathbb{R}}^n$丛，且$\xi$拥有$k$个线性独立的截面，则

$${\text{w}}_i(\xi )=0\text{for}i>n-k$$

对于$k=1$的情况，线性独立条件即截面处处不为零

记$H^{\mathrm{\Pi }}(B;{\mathbb{Z}}_2)$为以下无穷级数构成的环

$$a=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{a}_i\in H^i(B;{\mathbb{Z}}_2)$$

环中乘法满足交换律与结合律

$$ab=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)+(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)+\cdots$$

定义 total Stiefel-Whitney class $\text{w}(\xi )$为环中元素

$$\text{w}(\xi )=1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\text{w}}_i(\xi )$$

现在Whitney Product Theorem可写为

$$\text{w}(\xi \oplus \eta )=\text{w}(\xi )\text{w}(\eta )$$

所有$\text{w}$构成交换群，记$\text{w}$的逆为$\bar{\text{w}}$

$$\bar{\text{w}}=1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\bar{\text{w}}}_i$$

$${\bar{\text{w}}}_1={\text{w}}_1{\bar{\text{w}}}_n=\sum _{i=1}^{n-1}{\text{w}}_i{\bar{\text{w}}}_{n-i}+{\text{w}}_n$$

由于切丛与法丛直和为平凡丛

定理3(Whitney Duality)$$设$M$为欧式空间中流形，${\tau }_M$ 为其切丛，$\nu$ 为其法丛

$$\text{w}({\tau }_M)\text{w}(\nu )=1$$

$S^n$ 切丛和法丛的 total Stiefel-Whitney class 均为$1$，以下将$\text{w}({\tau }_M)$简写为$\text{w}(M)$

引理1$$对 $i\le n$，$H^i({\mathbb{P}}^n;{\mathbb{Z}}_2)$为2阶循环群，若记$a$为$H^1({\mathbb{P}}^n;{\mathbb{Z}}_2)$非零元，
则在乘积$⌣$下$a^i$为$H^i({\mathbb{P}}^n;{\mathbb{Z}}_2)$非零元

因此$H^{\bullet }({\mathbb{P}}^n;{\mathbb{Z}}_2)$可视作${\mathbb{Z}}_2$上拥有一个生成元$a$，并且满足关系$a^{n+1}=0$的代数

${\mathbb{P}}^n$上典范线丛${\gamma }_n^1$的总示性类为

$$\text{w}({\gamma }_n^1)=1+a$$

由于${\mathbb{P}}^n$上典范线丛${\gamma }_n^1$为平凡丛${\epsilon }^{n+1}$的子丛，记${\gamma }^{\perp }$为${\gamma }_n^1$正交补子丛，则

$$\text{w}({\gamma }^{\perp })=1+a+a^2+\cdots +a^n$$

引理2$$若$\tau$为${\mathbb{P}}^n$切丛，则$\tau \cong \text{Hom}({\gamma }_n^1,{\gamma }^{\perp })$

引理3$$若${\epsilon }^1$为${\mathbb{P}}^n$上平凡线丛，则

$$\tau \oplus {\epsilon }^1\cong \text{Hom}({\gamma }_n^1,{\gamma }^{\perp }\oplus {\gamma }_n^1)\cong \underset{i=0}{\overset{n}{⨁}}{\gamma }_n^1$$

定理4$$

$$\text{w}({\mathbb{P}}^n)=(1+a{)}^{n+1}$$

推论5(Stiefel)$$$\text{w}({\mathbb{P}}^n)=1$ 当且仅当 $n+1=2^m$

已知 ${\mathbb{P}}^1,{\mathbb{P}}^3,{\mathbb{P}}^7$ 可平行化，但更高阶的射影空间不可平行化

商代数

若$M$切丛平凡，则称$M$可平行化

定理5(Stiefel)$$若存在无零因子双线性算子$p$

$$p:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$$

则${\mathbb{P}}^{n-1}$为可平行化流形，即 $n=2^m$

$n=1,2,4,8$ 分别对应实数、复数、四元数、八元数，不存在$n>8$的商代数

浸入

当$n=2^m$时

$$\text{w}({\mathbb{P}}^n)=(1+a{)}^{2^m+1}=1+a+a^n$$

$$\bar{\text{w}}({\mathbb{P}}^n)=1+a+a^2+\cdots +a^{n-1}$$

若${\mathbb{P}}^n$能浸入${\mathbb{R}}^{n+k}$中，${\mathbb{P}}^n$法丛$\nu$示性类$\text{w}(\nu )=\bar{\text{w}}({\mathbb{P}}^n)$，故$\nu$维度至少为$n-1$

定理6$$若${\mathbb{P}}^{2^m}$能浸入${\mathbb{R}}^{2^m+k}$中，则 $k\ge 2^m-1$

定理7(Witney)$$任意$n>1$维光滑紧致流形均可浸入${\mathbb{R}}^{2n-1}$中

Stiefel-Whitney Number

若$M$为闭$n$维流形(可以非连通)，则存在唯一基本同调类

$${\mu }_M\in H_n(M,{\mathbb{Z}}_2)$$

对任意上同调类 $v\in H^n(M;{\mathbb{Z}}_2)$，可以定义Kronecker指标，记为$v[M]$

$$v[M]=⟨v,{\mu }_M⟩\in {\mathbb{Z}}_2$$

令$r_1,r_2,\cdots ,r_n$为非负整数，满足

$$r_1+2r_2+3r_3+\cdots +n{r}_n=n$$

则对任意向量丛$\xi$可以构造单项式

$${\text{w}}_1^{r_1}(\xi ){\text{w}}_2^{r_2}(\xi )\cdots {\text{w}}_n^{r_n}(\xi )\in H^n(B(\xi ),{\mathbb{Z}}_2)$$

若取底流形为$M$，$\xi$为$M$切丛${\tau }_M$，则可定义与此单项式相关的Stiefel-Whitney数

$${\text{w}}_1^{r_1}{\text{w}}_2^{r_2}\cdots {\text{w}}_n^{r_n}[M]$$

考虑${\mathbb{P}}^n$与其切丛$\tau$，根据$\text{w}({\mathbb{P}}^n)=(1+a{)}^{n+1}$可知

当$n$为偶数，${\text{w}}_1^n[{\mathbb{P}}^n],{\text{w}}_n[{\mathbb{P}}^n]\ne 0$，若$n=2^m$，则其他Stiefel-Whitney数均为零

当$n$为奇数，$\text{w}({\mathbb{P}}^n)=(1+a^2{)}^k$，可知所有Stiefel-Whitney数均为零

定理8(Pontrjagin)$$若$B$为$n+1$维光滑紧致带边流形，其边界为$M$，
则$M$的所有Stiefel-Whitney数均为零

定理9(Thom)$$若$M$的所有Stiefel-Whitney数均为零，则$M$可视为某光滑紧致带边流形的边界

两个闭$n$维流形属于同一个无定向配边类当且仅当其不交并为某光滑紧致$n+1$维流形的边缘

推论6$$两个闭$n$维流形属于同一个配边类当且仅当其对应的Stiefel-Whitney数相同