Grassmann流形

$\mathbb{R}^{n+k}$中所有过原点的$n$维平面的集合称为Grassmann流形 $\text{Gr}_n(\mathbb{R}^{n+k})$

$\mathbb{R}^{n+k}$中所有过原点的$n$维标架的集合称为Stiefel流形 $\text{V}_n(\mathbb{R}^{n+k})$

记$q$为从$\mathbb{R}^{n+k}$中$n$维标架到其张成$n$维平面的映射

$$q:V_n(\mathbb{R}^{n+k})\to \text{Gr}_n(\mathbb{R}^{n+k})$$

引理1$\quad$$\text{Gr}_n(\mathbb{R}^{n+k})$为$nk$维紧致流形

$\text{Gr}_n(\mathbb{R}^{n+1})=\mathbb{P}^n$

记$\text{Gr}_n(\mathbb{R}^{n+k})$上典范向量丛为$\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k})$，其每点的纤维为对应的$n$维平面本身

引理2$\quad$$\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k})$满足局部平凡化条件

若$M\subset \mathbb{R}^{n+k}$为$n$维流形，可定义广义Gauss映射，其将$M$上每点映为该点的切空间

$$\overline{g}:M\to \text{Gr}_n(\mathbb{R}^{n+k})$$

此映射被以下丛映射覆盖，简记为$g:\tau_M\to \gamma^n(\mathbb{R}^{n+k})$

$$g:E(\tau_M)\to E(\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k}));(x,v)\mapsto ({\textbf{T}}_xM,v)$$

引理3$\quad$$k$足够大时，紧致流形上的任意$\mathbb{R}^{n}$丛都能映为$\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k})$

因此$\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k})$称为万有丛

$\mathbb{R}^\infty$中所有过原点的$n$维平面的集合称为无限维Grassmann流形 $\text{Gr}_n=\text{Gr}_n(\mathbb{R}^\infty)$

$\text{Gr}_1=\mathbb{P}^\infty$，$\text{Gr}_n$ 上的典范向量丛记为 $\gamma^n$

与有限维情况类似，$\gamma^n$满足局部平凡化条件

仿紧空间

若Hausdorff空间$B$的任意开覆盖都存在局部有限加细，则称其仿紧

定理1(A. H. Stone)$\quad$测度空间仿紧

定理2(Morita)$\quad$若正则拓扑空间为其可数紧子集的并，则其仿紧

推论1$\quad$$\text{Gr}_n$仿紧

定理3(Dieudonné)$\quad$仿紧空间正规

以下两个定理说明$\gamma^n$为$\text{Gr}_n$ 上的万有丛

定理4$\quad$对仿紧底空间上的任意$\mathbb{R}^n$丛$\xi$，存在丛映射$\xi\to\gamma^n$

定理5$\quad$$\mathbb{R}^n$丛到$\gamma^n$的任意两个丛映射同伦

推论2$\quad$仿紧空间$B$上的$\mathbb{R}^n$丛$\xi$决定了唯一一个映射同伦类$\overline{f}_\xi$

$$\overline{f}_\xi:B\to\text{Gr}_n$$

令$c\in \text{H}^i(\text{Gr}_n;\Lambda)$为任意上同调类，则$c$与$\overline{f}_\xi$共同决定了示性上同调类$c(\xi)$

$$c(\xi)=\overline{f}_\xi^*c\in \text{H}^i(B;\Lambda)$$

仿紧底空间上的$\mathbb{R}^n$丛的所有示性上同调类在系数环$\Lambda$下构成的环与$\text{H}^\bullet(\text{Gr}_n;\Lambda)$同构

仿紧底空间上的两个$\mathbb{R}^n$丛 $\xi,\eta$ 同构当且仅当映射 $\overline{f}_\xi,\overline{f}_\eta$ 同伦