黎曼曲面

定义1$\quad$若第二可数Hausdorff空间满足如下条件，则称其为黎曼曲面

$1.\quad$存在开覆盖$\{U_\alpha\}$与同胚$\phi_\alpha:U_\alpha\to \mathbb{C}$

$2.\quad$转移函数$\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}:\phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)\to \phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$全纯

定义2$\quad$设$f$为两个黎曼曲面之间的映射$f:M\to N$，$M,N$上同胚分别为$\psi_\alpha:U_\alpha\to \mathbb{C},\varphi_\beta:V_\beta\to \mathbb{C}$，若$\varphi_\beta\circ f\circ\psi_\alpha^{-1}:\psi_\alpha(U_\alpha)\to\varphi_\beta(V_\beta)$全纯，
则称$f$为全纯映射

全纯映射为开映射或常值映射，紧致黎曼曲面到$\mathbb{C}$的全纯映射为常值映射，全纯映射的原像点离散

定义3$\quad$若黎曼曲面之间全纯映射 $f:M\to N,g:N\to M$ 满足 $f\circ g=\text{id}_N,g\circ f=\text{id}_M$，则称$M,N$全纯同构，$f,g$为双全纯映射

$\mathbb{C}P^1,\mathbb{C}S^1,\mathbb{S}^2$ 均全纯同构，统称黎曼球面

若$\Lambda=\langle\omega_1,\omega_2\rangle$为双周期网格，则$\mathbb{C}/\Lambda$称为黎曼环面

$\mathbb{C}/\Lambda\cong \mathbb{C}/\langle 1,\tau\rangle$，周期比$\tau=\omega_2/\omega_1\quad\Im\;\tau>0$

两个黎曼环面同构的充要条件为 $\tau,\tau’$ 差一个$SL(2,\mathbb{Z})$中变换

Poincaré 引理

Poincaré引理$\quad$$\mathbb{C}$上闭形式必为恰当形式

对于2-形式 $\omega=F(x,y)\dd x\wedge\dd y$ 可以构造 $\eta=\displaystyle\left[\int_0^x F(t,y)\dd t\right]\dd y$

对于1-形式 $\omega=p\dd x+q\dd y$ 可以构造 $\eta=\displaystyle\int_0^x p(t,y)\dd t+\int_0^y p(0,t)\dd t$

Poincaré引理对于$\mathbb{C}$上凸域也成立

Stokes公式$\quad$若$\omega$为黎曼曲面$M$上1-形式，$\Omega$为$M$中无边或边界正则的区域，$\text{supp}\;\omega\cap\Omega\Subset \Omega$，则

$$\int_\Omega\dd\omega=\int_{\partial\Omega}\omega$$