双曲空间

$\mathbb{R}^{1,2}$ 上线元

$$\dd s^2=-\dd t^2+\dd x^2+\dd y^2$$

在双叶双曲面 $S:-t^2+x^2+y^2=-1$ 上诱导出线元

$$S\to \mathbb{R}^{1,2}:(\rho,\phi)\mapsto(\cosh{\rho},\sinh{\rho}\cos{\phi},\sinh{\rho}\cos{\phi})$$

$$\dd s^2=\dd\rho^2+\sinh^2\rho\;\dd\phi^2$$

其上测地线为经过原点的平面与双曲面相交而成的双曲线

过点 $(-1,0,0)$ 向双曲面引射线，将其投影到Poincare圆盘 $\mathbb{D}:t=0,x^2+y^2<1$ 上，诱导出线元

$$\mathbb{D}\to S:(u,v)\mapsto (\frac{2u}{1-u^2-v^2},\frac{2v}{1-u^2-v^2},\frac{1+u^2+v^2}{1-u^2-v^2})$$

$$\dd s^2=\frac{4}{(1-u^2-v^2)^2}(\dd u^2+\dd v^2)$$

其上测地线为圆弧族 $(u-\cos\theta/a)^2+(v-\sin\theta/a)^2=\displaystyle\frac{1-a^2}{a^2}$

将Poincare圆盘变换到上半复平面 $\mathbb{H}:y>0$，诱导出线元

$$\mathbb{H}\to\mathbb{D}:(x,y)\mapsto (\frac{2x}{x^2+(y+1)^2},1-\frac{2(y+1)}{x^2+(y+1)^2})$$

$$\dd s^2=\frac{\dd x^2+\dd y^2}{y^2}$$

其上测地线为直径在实轴上的半圆弧

$S,\mathbb{D},\mathbb{H}$ 上标量曲率均为负常数 $R=-2$

$\mathbb{H}$ 上测地三角形的面积由其三个角之和决定 $A=\pi-\alpha-\beta-\gamma$

莫比乌斯变换群 $SL_2(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{H}$ 上的 transitive 和等距变换群

考虑 $\gamma\neq \pm I_2\in SL_2(\mathbb{R})$ 对 $\mathbb{H}\cup\partial \mathbb{H}$ 的作用，可按不动点分为三类

双曲类：$|\tr\gamma|>2$，在 $\partial\mathbb{H}$ 上有两个不动点

抛物类：$|\tr\gamma|=2$，在 $\partial\mathbb{H}$ 上有一个不动点

椭圆类：$|\tr\gamma|<2$，在 $\mathbb{H}$ 上有两个不动点