双曲空间

${\mathbb{R}}^{1,2}$ 上线元

$$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2$$

在双叶双曲面 $S:-t^2+x^2+y^2=-1$ 上诱导出线元

$$S\to {\mathbb{R}}^{1,2}:(\rho ,\varphi )\mapsto (\cosh \rho ,\sinh \rho \cos \varphi ,\sinh \rho \cos \varphi )$$

$$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{\rho }^2+{\sinh }^2\rho \mathrm{d}{\varphi }^2$$

其上测地线为经过原点的平面与双曲面相交而成的双曲线

过点 $(-1,0,0)$ 向双曲面引射线，将其投影到Poincare圆盘 $\mathbb{D}:t=0,x^2+y^2<1$ 上，诱导出线元

$$\mathbb{D}\to S:(u,v)\mapsto (\frac{2u}{1-u^2-v^2},\frac{2v}{1-u^2-v^2},\frac{1+u^2+v^2}{1-u^2-v^2})$$

$$\mathrm{d}{s}^2=\frac{4}{(1-u^2-v^2{)}^2}(\mathrm{d}{u}^2+\mathrm{d}{v}^2)$$

其上测地线为圆弧族 $(u-\cos \theta /a{)}^2+(v-\sin \theta /a{)}^2={\displaystyle \frac{1-a^2}{a^2}}$

将Poincare圆盘变换到上半复平面 $\mathbb{H}:y>0$，诱导出线元

$$\mathbb{H}\to \mathbb{D}:(x,y)\mapsto (\frac{2x}{x^2+(y+1{)}^2},1-\frac{2(y+1)}{x^2+(y+1{)}^2})$$

$$\mathrm{d}{s}^2=\frac{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2}{y^2}$$

其上测地线为直径在实轴上的半圆弧

$S,\mathbb{D},\mathbb{H}$ 上标量曲率均为负常数 $R=-2$

$\mathbb{H}$ 上测地三角形的面积由其三个角之和决定 $A=\pi -\alpha -\beta -\gamma$

莫比乌斯变换群 $S{L}_2(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{H}$ 上的 transitive 和等距变换群

考虑 $\gamma \ne \pm I_2\in S{L}_2(\mathbb{R})$ 对 $\mathbb{H}\cup \partial \mathbb{H}$ 的作用，可按不动点分为三类

双曲类：$|\mathrm{tr}\gamma |>2$，在 $\partial \mathbb{H}$ 上有两个不动点

抛物类：$|\mathrm{tr}\gamma |=2$，在 $\partial \mathbb{H}$ 上有一个不动点

椭圆类：$|\mathrm{tr}\gamma |<2$，在 $\mathbb{H}$ 上有两个不动点