Coleman-Mandula 定理

若 $G$ 为散射矩阵 $S=1-i(2\pi {)}^4\delta (P_{\mu }-P_{\mu }^{\prime })T$ 的连通对称Lie群，且以下条件成立

$1.(\text{Lorentz invariance})$$G$包含局部同构于Poincaré群$P$的子群

$2.(\text{Particle-finiteness})$任何粒子均对应$P$的正能量表示，给定质量$M$，仅存在有限种质量小于$M$的粒子

$3.(\text{Weak elastic analyticity})$除去法线阈外，在物理区域的邻域，弹性散射振幅为质心能$s$和动量不变演化参数$t$的解析函数

$4.(\text{Occurrence of scattering})$若$|p⟩$，$|p^{\prime }⟩$ 为两个单粒子动量本征态，则最多除去一些离散取值的$s$之外

$$T|p,p^{\prime }⟩\ne 0$$

亦即两列平面波对于质心能取值$s$几乎处处散射

$5.(\text{An ugly technical assumption})$存在$G$单位元邻域，其中任意元素位于某单参群$g(t)$上，若$x,y\in \mathcal{D}$为具有紧支集的无穷可微单粒子态，则以下极限存在，且定义了一个关于$y$线性，关于$x$反线性的函数

$$\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x,g(t)y)=(x,Ay)$$

则$G$局部同构于Poincaré群与内禀对称群的直积群

Haag–Łopuszański–Sohnius 定理

若将Coleman-Mandula 定理中散射矩阵对称群为Lie群的条件放宽为分次Lie群，则可将时空的Poincaré对称性拓展为超对称，超对称代数是唯一能生成相对论性量子场论中散射矩阵对称群的分次Lie代数

分次Lie代数在对易子的基础上引入了反对易子

$$\{Q,Q^{\prime }\}=X[X,X^{\prime }]=X^{″}[Q,X]=Q^{\prime }$$

$X$为代数中对易生成元，其为Poincaré代数$\mathcal{P}=\{P_m,M_{mn}\}$或Lorentz-invariant紧Lie代数$\mathcal{A}={\mathcal{A}}_1\oplus {\mathcal{A}}_2$中的元素，其中$\mathcal{A}$为半单Lie代数，${\mathcal{A}}_2$为Abelian代数

$Q$为代数中反对易生成元，可按Lorentz群$\mathcal{L}$的齐次不可约自旋${\displaystyle \frac{1}{2}(a+b)}$表示分解，由反对易性知 $a+b$ 为奇数

$$Q=\sum Q_{\underset{―}{{\alpha }_1\cdots {\alpha }_a},\underset{―}{{\dot{\beta }}_1\cdots {\dot{\beta }}_b}}$$

其中用下划线表示位于其上的指标对称，下划括号表示位于其上的指标反对称

附加以下两个条件

$1.$算符$Q$作用于配备正定度规的Hilbert空间

$2.$$Q$与其Hermitian共轭$\overline{Q}$均属于此代数

考虑如下反对易子，其指标全为$1$，为隶属于 ${\displaystyle \frac{1}{2}(a+b,a+b)}$ 型旋量表示的对易生成元的分量，然而 $j>1$ 时由于不存在隶属于 ${\displaystyle \frac{1}{2}(j,j)}$ 型旋量表示的非零对易生成元，可知此反对易子为零

$$\{Q_{\stackrel{\underset{―}{1\cdots 1}}{a},\stackrel{\underset{―}{\dot{1}\cdots \dot{1}}}{b}},{\overline{Q}}_{\stackrel{\underset{―}{\dot{1}\cdots \dot{1}}}{a},\stackrel{\underset{―}{1\cdots 1}}{b}}\}$$

同时若 $Q$ 非零， 则 $\{Q,Q^{†}\}$ 为配备正定度规的Hilbert空间中的正定算符，与反对易子为零矛盾，因此当 $a+b>1$ 时 $Q_{\stackrel{\underset{―}{1\cdots 1}}{a},\stackrel{\underset{―}{\dot{1}\cdots \dot{1}}}{b}}=0$，由于隶属于不可约表示的量不能有零分量，因此 $Q_{{\alpha }_1\cdots {\alpha }_a,{\dot{\beta }}_1\cdots {\dot{\beta }}_b}$ 均为零

因此 $a+b=1$ ，代数的反对易成分仅由 $\mathcal{L}$ 的自旋${\displaystyle \frac{1}{2}}$表示下旋量 $Q_{\alpha }^L,{\overline{Q}}_{\dot{\beta }M}$ 构成，其反对易子为Hermitian算符，可对角化，而 $\{Q_1^L,{\overline{Q}}_{\dot{1}L}\}$ 又为正定算符，故可选取合适的基使反对易子满足如下关系

$$\{Q_{\alpha }^L,{\overline{Q}}_{\dot{\beta }M}\}=2{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^m{P}_m{\delta }_M^L$$

现考虑同型旋量$Q_{\alpha }^L,Q_{\beta }^M$的反对易子，由于同时交换指标 $\alpha ,\beta$ 和 $L,M$ 后反对易子不变，故可将其拆分为以下形式

$$\{Q_{\alpha }^L,Q_{\beta }^M\}={\epsilon }_{\alpha \beta }{X}^{\underset{\phantom{LM}}{LM}}+M_{\underset{―}{\alpha \beta }}{Y}^{\underset{―}{LM}}$$

其中对称部分 $Y^{\underset{―}{LM}}$ 隶属于自旋$1$表示，由Coleman-Mandula 定理知此表示即为洛伦兹生成元 $M_{\underset{―}{\alpha \beta }}$，然而可以证明 $P_m$ 与 $Q_{\alpha }^L$ 对易，因此 $Y^{\underset{―}{LM}}$ 为零，反对易子可写为

$$\{Q_{\alpha }^L,Q_{\beta }^M\}={\epsilon }_{\alpha \beta }{a}^{l,\underset{\phantom{LM}}{LM}}{B}_l$$

其中$B_l$为代数对称部分中的Hermitian元素，由这些结果，超对称代数现在可写为

$$\{Q_{\alpha }^L,{\overline{Q}}_{\dot{\beta }M}\}=2{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^m{P}_m{\delta }_M^L$$

$$[P_m,Q_{\alpha }^L]=[P_m,{\overline{Q}}_{\dot{\beta }M}]=0$$

$$\{Q_{\alpha }^L,Q_{\beta }^M\}={\epsilon }_{\alpha \beta }{a}^{l,\underset{\phantom{LM}}{LM}}{B}_l={\epsilon }_{\alpha \beta }{X}^{\underset{\phantom{LM}}{LM}}$$

$$\{{\overline{Q}}_{\dot{\alpha }L},{\overline{Q}}_{\dot{\beta }M}\}={\epsilon }_{\dot{\alpha }\dot{\beta }}{a}_{l,\underset{\phantom{LM}}{LM}}^{\ast }{B}^l={\epsilon }_{\dot{\alpha }\dot{\beta }}{X}_{\underset{\phantom{LM}}{LM}}^{†}$$

$$[Q_{\alpha }^L,B_l]=S_{lM}^L{Q}_{\alpha }^M$$