Lorentz 群表示

$\eta=\text{diag}(-1,1,1,1)$

$\text{SO}^+(1,3)\cong\text{SL}_2(\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$，$\mathfrak{so}^+(1,3)\cong\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\oplus\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$

$\mathfrak{so}^+(1,3)$：

$$\sigma^0=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\qquad
\sigma^1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$

$$\sigma^2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\qquad
\sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

$$J_{1,2,3}=\frac{1}{2}\sigma_{1,2,3}\qquad K_{1,2,3}=\frac{i}{2}\sigma_{1,2,3}$$

$$[J_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}J_k\qquad[J_i,K_j]=i\varepsilon_{ijk}K_k\qquad[K_i,K_j]=-i\varepsilon_{ijk}J_k$$

$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\oplus\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$：

$$J^+_i=\frac{1}{2}(J_i+iK_i)\qquad J^-_i=\frac{1}{2}(J_i-iK_i)$$

$$[J^+_i,J^+_j]=i\varepsilon_{ijk}J^+_k\qquad[J^-_i,J^-_j]=i\varepsilon_{ijk}J^-_k\qquad[J^+_i,J^-_j]=0$$

$\text{SO}^+(1,3)$ 的$(2j_1+1,2j_2+1)$ 维表示记为$(j_1,j_2)$