分量场

引入与反对易生成元对应的反对称参数$\xi^\alpha,\bar\xi_{\dot\alpha}$

$$\{\xi^\alpha,\xi^\beta\}=\{\xi^\alpha,Q_\beta\}=\cdots=[P_m,\xi^\alpha]=0$$

超对称代数可表示为

$$[\xi Q,\bar\xi\bar Q]=2\xi\sigma^m\bar\xi P_m$$

$$[\xi Q,\xi Q]=[\bar\xi \bar Q,\bar\xi \bar Q]=0$$

$$[P^m,\xi Q]=[P^m,\bar\xi\bar Q]=0$$

定义作用于分量多重态 $(A,\psi,\cdots)$ 的无穷小算符 $\delta_\xi$

$$\delta_\xi A=(\xi Q+\bar\xi\bar Q)\times A$$

$$\delta_\xi \psi=(\xi Q+\bar\xi\bar Q)\times \psi$$

$$\cdots$$

可验证 $\delta_\xi$ 满足如下性质

$$[\delta_\eta,\delta_\xi]A=2(\eta\sigma^m\bar\xi-\xi\sigma^m\bar\eta)P_m A\tag{1}\label{eq1}=-2i(\eta\sigma^m\bar\xi-\xi\sigma^m\bar\eta)\partial_m A$$

由于旋量 $Q$ 质量维数为 $\displaystyle\frac{1}{2}$，故 $\delta_\xi$ 将 $l$ 维场变为 $l+\displaystyle\frac{1}{2}$ 维场，对于$1$维复标量场 $A$，可定义 $\delta_\xi$ 作用于其上得到的旋量场 $\psi$

$$\delta_\xi A=\sqrt{2}\xi\psi$$

进而利用$\eqref{eq1}$定义 $\delta_\xi$ 作用于 $\psi$ 得到的张量场 $F$

$$\delta_\eta\delta_\xi A=2i\xi\sigma^m\bar\eta\partial_m A+2\xi\eta F$$

$$\delta_\xi\psi=i\sqrt{2}\sigma^m\bar\xi\partial_m A+\sqrt{2}\xi F$$

要求 $[\delta_\eta,\delta_\xi]\psi$ 满足与$\eqref{eq1}$相同的封闭性质，可得 $F$ 在 $\delta_\xi$ 作用下变为 $\psi$ 的时空导数，任意多重态中的最高维分量均满足此性质

$$\delta_\eta\delta_\xi\psi=-i2\eta\sigma^m\bar\xi\partial_m \psi-i[\sigma^n\bar\sigma^m\partial_m\psi]( \eta \sigma_n \bar\xi )+\sqrt{2}\xi\delta_\eta F$$

$$\delta_\xi F=i\sqrt{2}\bar\xi\bar\sigma^m\partial_m\psi$$

此分量多重态称为手性多重态或标量多重态，其构成超对称代数的线性表示

$$\delta_\xi A=\sqrt{2}\xi\psi$$

$$\delta_\xi\psi=i\sqrt{2}\sigma^m\bar\xi\partial_m A+\sqrt{2}\xi F$$

$$\delta_\xi F=i\sqrt{2}\bar\xi\bar\sigma^m\partial_m\psi$$

构造不变作用量只需寻找在无穷小算符作用下下变为时空导数的场的组合，可验证以下量满足此条件

$$\mathscr{L}_0=i\partial_n\bar\psi\bar\sigma^n\psi+A^*\Box A+F^*F$$

$$\mathscr{L}_m=AF+A^*F^*-\frac{1}{2}\psi\psi-\frac{1}{2}\bar\psi\bar\psi$$

二者结合可得到完全Lagrangian

$$\mathscr{L}=\mathscr{L}_0+m\mathscr{L}_m=i\partial_n\bar\psi\bar\sigma^n\psi-\frac{1}{2}(\psi\psi+\bar\psi\bar\psi)+A^*\Box A-m^2A^*A$$

利用Lagrangian可得到以下场方程，其描述质量均为$m$的Wely旋量$\psi$和复标量$A$

$$i\bar\sigma^n\partial_n\psi+m\bar\psi=0$$

$$F+mA^*=0$$

$$\Box A+m F^*=0$$

在超对称未破缺的情况下，此Lagrangian满足以下性质，其反映了超对称理论中对于给定的质量$m$，bosonic与fermionic自由度相同；

$$\mathscr{L}=\;\;:\mathscr{L}:$$

超场

由于超对称代数可视为引入反对易参数的李代数，故可定义如下群元

$$G(x,\theta,\bar\theta)=e^{i(-x^mP_m+\theta Q+\bar\theta\bar Q)}$$

利用Hausdorff公式 $e^Ae^B=e^{A+B+[A,B]/2+\cdots}$，二次以上对易子为零，可得到以下群元乘法规则，其诱导出参数空间的运动

$$G(0,\xi,\bar\xi)G(x^m,\theta,\bar\theta)=G(x^m+i\theta\sigma^m\bar\xi-i\xi\sigma^m\bar\theta,\theta+\xi,\bar\theta+\bar\xi)$$

$$g(\xi,\bar\xi):(x^m,\theta,\bar\theta)\to (x^m+i\theta\sigma^m\bar\xi-i\xi\sigma^m\bar\theta,\theta+\xi,\bar\theta+\bar\xi)$$

此运动可由反对易生成元对参数空间的无穷小算符 $Q,\bar Q$ 生成，其形式将在下文导出

$$Q_\alpha=\frac{\partial}{\partial\theta^\alpha}-i\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\bar\theta^{\dot\alpha}\partial_m\qquad \bar Q_{\dot\alpha}=\frac{\partial}{\partial\bar\theta^{\dot\alpha}}-i\theta^\alpha\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\partial_m$$

$$\{Q_\alpha,\bar Q_{\dot\alpha}\}=2i\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\partial_m$$

$$\{Q_\alpha,Q_\beta\}=\{\bar Q_{\dot\alpha},\bar Q_{\dot\beta}\}=0$$

与右乘群作用对应的是无穷小算符$D,\bar D$

$$D_\alpha=\frac{\partial}{\partial\theta^\alpha}+i\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\bar\theta^{\dot\alpha}\partial_m\qquad \bar D_{\dot\alpha}=-\frac{\partial}{\partial\bar\theta^{\dot\alpha}}-i\theta^\alpha\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\partial_m$$

$$\{D_\alpha,\bar D_{\dot\alpha}\}=-2i\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\partial_m$$

$$\{D_\alpha,D_\beta\}=\{\bar D_{\dot\alpha},\bar D_{\dot\beta}\}=0$$

称此参数空间为超空间，其中元素用 $z=(x,\theta,\bar\theta)$ 表示；与之对应的超场为按超空间中反对称参数 $\theta,\bar\theta$ 展开的函数，由于旋量分量反对易且 $\theta,\bar\theta$ 各自只有两个分量，故展开式具有以下形式，更高阶的项均为零，可知超场在加法与乘法下封闭

$$\begin{aligned}F(x,\theta,\bar\theta)&=f(x)+\theta\phi(x)+\bar\theta\bar\chi(x)\\& +\theta\theta m(x)+\bar\theta\bar\theta n(x)+\theta\sigma^m\bar\theta v_m(x)\\&+\theta\theta\bar\theta\bar\lambda(x)+\bar\theta\bar\theta\theta\psi(x)+\theta\theta\bar\theta\bar\theta d(x)\end{aligned}$$

超场需满足如下与分量多重态相似的变换规律，其中 $Q,\bar Q$ 表示上文微分算符

$$\begin{aligned}\delta_\xi F(x,\theta,\bar\theta)&=\delta_\xi f(x)+\theta\delta_\xi\phi(x)+\bar\theta\delta_\xi\bar\chi(x)\\& +\theta\theta \delta_\xi m(x)+\bar\theta\bar\theta \delta_\xi n(x)+\theta\sigma^m\bar\theta \delta_\xi v_m(x)\\&+\theta\theta\bar\theta\delta_\xi\bar\lambda(x)+\bar\theta\bar\theta\theta\delta_\xi\psi(x)+\theta\theta\bar\theta\bar\theta \delta_\xi d(x)\\&\equiv (\xi Q+\bar\xi\bar Q)F\end{aligned}$$

对于分量多重态，可以如下方式构造与之对应的超场，其中乘法 $\times$ 与参数 $\theta,\bar\theta$ 对易

$$F(x,\theta,\bar\theta)=e^{\theta Q+\bar\theta\bar Q}\times A=A+\delta_\theta A+\cdots $$

$$\delta_\xi F(x,\theta,\bar\theta)=(\xi Q+\bar\xi\bar Q)\times F$$

再次利用Hausdorff公式可得

$$\begin{aligned}
\xi^\alpha\frac{\partial}{\partial\theta^\alpha}e^{\theta Q+\bar\theta\bar Q}\times&=\xi^\alpha\frac{\partial}{\partial\theta^\alpha} e^{\theta Q}e^{\bar\theta\bar Q}e^{-\theta\sigma^m\bar\theta P_m}\times\\&=(\xi Q-\xi\sigma^m\bar\theta P_m)\times e^{\theta Q+\bar\theta\bar Q}\times\end{aligned}$$

$$\bar\xi_{\dot\alpha}\frac{\partial}{\partial\bar\theta_{\dot\alpha}}e^{\theta Q+\bar\theta\bar Q}\times=(\bar\xi \bar Q+\theta\sigma^m\bar\xi P_m)\times e^{\theta Q+\bar\theta\bar Q}\times$$

由此即得上文微分算符 $Q,\bar Q$ 的具体形式，$\xi Q\times,\bar\xi\bar Q\times$ 对 $e^{\theta Q+\bar\theta\bar Q}$ 的群作用可用微分算符 $\xi Q+\bar\xi\bar Q$ 表示，可见如此构造的 $F(x,\theta,\bar\theta)$ 的确满足超场的变换规律

$$F(x,\theta,\bar\theta)=e^{\theta Q+\bar\theta\bar Q}\times A$$

$$\delta_\xi F(x,\theta,\bar\theta)=(\xi Q+\bar\xi\bar Q) F$$

要用上述方法构造与一组分量场直接对应的超场，须从最低维分量场构造；若存在多个最低维分量场，则其给出这些分量场各自的超场，但这些超场由约束方程联系，此问题将在对规范场的讨论中出现

手性超场

满足以下条件的超场称为手性超场，其对应于手性多重态

$$\bar D_{\dot\alpha}\Phi=0$$

$y^m=x^m+i\theta\sigma^m\bar\theta$ 和 $\theta$ 均为此方程的解，因此如下形式的超场为手性超场，同时其也为此方程最普遍形式的解

$$\begin{aligned}\Phi&=A(y)+\sqrt{2}\theta\psi(y)+\theta\theta F(y)\\&=A(x)+i\theta\sigma^m\bar\theta\partial_m A(x)+\frac{1}{4}\theta\theta\bar\theta\bar\theta\Box A(x)\\&+\sqrt{2}\theta\psi(x)-\frac{i}{\sqrt{2}}\theta\theta\partial_m\psi(x)\sigma^m\bar\theta+\theta\theta F(x)\end{aligned}$$

微分算符 $D,\bar D$ 在坐标 $y,\theta,\bar\theta$ 下的形式为

$$D_\alpha=\frac{\partial}{\partial \theta^\alpha}+2i\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\bar\theta^{\dot\alpha}\frac{\partial}{\partial y^m}$$

$$\bar D_{\dot\alpha}=-\frac{\partial}{\partial \bar\theta^{\dot\alpha}}$$

类似地有反手性超场

$$D_{\alpha}\Phi^\dagger=0$$

${y^\dagger}^ m=x^m+i\theta\sigma^m\bar\theta$ 和 $\bar\theta$ 均为此方程的解

$$\begin{aligned}\Phi^\dagger&=A^*(y^\dagger)+\sqrt{2}\bar\theta\bar\psi(y^\dagger)+\bar\theta\bar\theta F^*(y^\dagger)\\&=A^*(x)-i\theta\sigma^m\bar\theta\partial_m A^*(x)+\frac{1}{4}\theta\theta\bar\theta\bar\theta\Box A^*(x)\\&+\sqrt{2}\bar\theta\bar\psi(x)+\frac{i}{\sqrt{2}}\bar\theta\bar\theta\theta\sigma^m\partial_m\bar\psi(x)+\bar\theta\bar\theta F^*(x)\end{aligned}$$

微分算符 $D,\bar D$ 在坐标 $y^\dagger,\theta,\bar\theta$ 下的形式为

$$D_\alpha=\frac{\partial}{\partial \theta^\alpha}$$

$$\bar D_{\dot\alpha}=-\frac{\partial}{\partial \theta^{\dot\alpha}}-2i\theta^\alpha\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\frac{\partial}{\partial {y^\dagger}^m}$$

$\Phi,\Phi^\dagger$ 的最高维成分分别为 $F,F^*$，而对应于 $\theta,\bar\theta$ 更高阶的项均为时空导数，因此标量超场的 $F,F^*$ 成分在 $\delta_\xi$ 作用下总是变换为时空导数

手性超场的乘积仍为手性超场，取Hermitian共轭得到的反手性超场同样满足此封闭性

$$\begin{aligned}\Phi_i\Phi_j&=A_i(y)A_j(y)+\sqrt{2}\theta[\psi_i(y)A_j(y)+A_i(y)\psi_j(y)]\\&+\theta\theta[A_i(y)F_j(y)+A_j(y)F_i(y)-\psi_i(y)\psi_j(y)]\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\Phi_i\Phi_j\Phi_k&=A_iA_jA_k+\sqrt{2}\theta[\psi_iA_jA_k+\psi_jA_kA_i+\psi_kA_iA_j]\\&+\theta\theta[F_iA_jA_k+F_jA_kA_i+F_kA_iA_j-\psi_i\psi_jA_k-\psi_j\psi_kA_i-\psi_k\psi_iA_j]\end{aligned}$$

然而超场与反手性超场的乘积并不一定是手性或反手性超场

$$\begin{aligned}\Phi_i^\dagger\Phi_j&=A_i^*(x)A_j(x)+\sqrt{2}\theta\psi_j(x)A_i^*(x)+\sqrt{2}\bar\theta\bar\psi_i(x)A_j(x)\\&+\theta\theta A_i^*(x)F_j(x)+\bar\theta\bar\theta F_i^*(x)A_j(x)+\theta^\alpha\bar\theta^{\dot\alpha}[i\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}(A_i^*\partial_m A_j-\partial_m A_i^* A_j)-2\bar\psi_{i\dot\alpha}\psi_{j\alpha}]\\&+\theta\theta\bar\theta^{\dot\alpha}\left[\frac{i}{\sqrt{2}}\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}(A_i^*\partial_m\psi_j^\alpha-\partial_m A_i^*\psi_j^\alpha)-\sqrt{2}F_j\bar\psi_{i\dot\alpha}\right]\\&+\bar\theta\bar\theta\theta^{\alpha}\left[-\frac{i}{\sqrt{2}}\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}(\bar\psi_i^{\dot\alpha}\partial_m A_j-\partial_m \bar\psi_i^{\dot\alpha}A_j)+\sqrt{2}F_i^*\psi_{j\alpha}\right]\\&+\theta\theta\bar\theta\bar\theta\left[F_i^*F_j+\frac{1}{4}A_i^*\Box A_j+\frac{1}{4}\Box A_i^*A_j-\frac{1}{2}\partial_m A_i^*\partial^m A_j+\frac{i}{2}\partial_m\bar\psi_i\bar\sigma^m\psi_j-\frac{i}{2}\bar\psi_i\bar\sigma^m\partial_m\psi_j\right]\end{aligned}$$

其中 $\theta\theta\bar\theta\bar\theta$ 分量在 $\delta_\xi$ 下化为时空导数，至此可写出仅含手性超场的最普遍形式的超对称可重整化Lagrangian，其中耦合常数 $m_{ij},g_{ijk}$ 关于下标对称，将Lagrangian写为分量场形式时舍弃了全导数

$$\begin{aligned}\mathscr{L}&=\Phi_i^\dagger\Phi_i|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta\;\text{component}}+\left[\left.\left(\frac{1}{2}m_{ij}\Phi_i\Phi_j+\frac{1}{3}g_{ijk}\Phi_i\Phi_j\Phi_k+\lambda_i\Phi_i\right)\right|_{\theta\theta\;\text{component}}+\text{h.c.}\right]\\&=i\partial_m\bar\psi_i\bar\sigma^m\psi_i+A_i^*\Box A_i+F_i^*F_i+\left[m_{ij}\left(A_iF_j-\frac{1}{2}\psi_i\psi_j\right)+g_{ijk}(A_iA_jF_k-\psi_i\psi_jA_k)+\lambda_iF_i+\text{h.c.}\right]\end{aligned}$$

利用Euler方程消去辅磁场 $F_i$ ，得到仅由动力场 $A_i,\psi_i$ 表示的Lagrangian
其中势能 $\mathscr{V}=F_k^* F_k$ 大于等于零，这是超对称导致的结果

$$\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial F_k^*}=F_k+\lambda_k^*+m_{ik}^*A_i^*+g_{ijk}^*A_i^*A_j^*=0$$

$$\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial F_k}=F_k^*+\lambda_k+m_{ik}A_i+g_{ijk}A_iA_j=0$$

$$\mathscr{L}=i\partial_m\bar\psi_i\bar\sigma^m\psi_i+A_i^*\Box A_i-\frac{1}{2}m_{ij}\psi_i\psi_j-\frac{1}{2}m_{ij}^*\bar\psi_i\bar\psi_j-g_{ijk}\psi_i\psi_j A_k-g_{ijk}^*\bar\psi_i\bar\psi_j A_k^*-\mathscr{V}(A_i,A_j^*)$$

超场平移 $\Phi_i\to\Phi_i+a_i$ 可以得到新的Lagrangian，其参数变化如下

$$\lambda_i’=\lambda_i+m_{ij}a_j+g_{ijk}a_ja_k$$

$$m_{ij}’=m_{ij}+2g_{ijk}a_k$$

$$g_{ijk}’=g_{ijk}$$

可限制可重整化Lagrangian为R-不变量，R对手性多重态的作用如下，式中 $n$ 称为超场的R-示性数，质量或势能项为R-不变量当且仅当其对应超场的R-示性数之和为$1$

$$R\Phi(\theta,x)=e^{2in\alpha}\Phi(e^{-i\alpha}\theta,x)$$

$$R\Phi^\dagger(\bar\theta,x)=e^{-2in\alpha}\Phi^\dagger(e^{i\alpha}\bar\theta,x)$$

相应分量场的变化为

$$A\to e^{2in\alpha}A$$

$$\psi\to e^{2i(n-1/2)\alpha}\psi$$

$$F\to e^{2i(n-1)\alpha}F$$

矢量超场

满足以下条件的超场称为矢量超场

$$V=V^\dagger$$

矢量超场可展开为以下形式，其中分量场 $C,D,M,N,v_m$ 均为实数场

$$\begin{aligned}V(x,\theta,\bar\theta)&=C(x)+i\theta\chi(x)-i\bar\theta\bar\chi(x)\\&+\frac{i}{2}\theta\theta[M(x)+iN(x)]-\frac{i}{2}\bar\theta\bar\theta[M(x)-iN(x)]-\theta\sigma^m\bar\theta v_m(x)\\&+i\theta\theta\bar\theta\left[\bar\lambda(x)+\frac{i}{2}\bar\sigma^m\partial_m\chi(x)\right]-i\bar\theta\bar\theta\theta\left[\lambda(x)+\frac{i}{2}\sigma^m\partial_m\bar\chi(x)\right]\\&+\frac{1}{2}\theta\theta\bar\theta\bar\theta\left[D(x)+\frac{1}{2}\Box C(x)\right]\end{aligned}$$

式中系数为根据手性超场与其Hermitian共轭之和的形式特殊选取

$$\begin{aligned}\Phi+\Phi^\dagger&=A+A^*+\sqrt{2}(\theta\psi+\bar\theta\bar\psi)\\&+\theta\theta F+\bar\theta\bar\theta F^*+i\theta\sigma^m\bar\theta\partial_m(A-A^*)\\&+\frac{i}{\sqrt{2}}\theta\theta\bar\theta\bar\sigma^m\partial_m\psi+\frac{i}{\sqrt{2}}\bar\theta\bar\theta\theta\sigma^m\partial_m\bar\psi\\&+\frac{1}{4}\theta\theta\bar\theta\bar\theta\Box(A+A^*)\end{aligned}$$

观察 $\theta\sigma^m\bar\theta$ 的系数 $i\partial_m(A-A^*)$，比较可知超矢量场的规范变换形式

$$V\to V+\Phi+\Phi^\dagger$$

其参数变换为

$$C\to C+A+A^*$$

$$\chi\to \chi-i\sqrt{2}\psi$$

$$M+iN\to M+iN-2iF$$

$$v_m\to v_m-i\partial_m(A-A^*)$$

$$\lambda\to\lambda$$

$$D\to D$$

选取Wess-Zumino规范使得 $C,\chi,M,N$ 均为零，得到通常规范变换 $v_m\to v_m+\partial_m a$，在此规范下容易计算 $V$ 的幂

$$V=-\theta\sigma^m\bar\theta v_m(x)+i\theta\theta\bar\theta\bar\lambda(x)-i\bar\theta\bar\theta\theta\lambda(x)+\frac{1}{2}\theta\theta\bar\theta\bar\theta D(x)$$

$$V^2=-\frac{1}{2}\theta\theta\bar\theta\bar\theta v_m v^m$$

$$V^3=0$$

可将 $V$ 视为Yang-Mills势的超对称推广，由于 $\lambda_\alpha,\bar\lambda_{\dot\alpha}$ 为 $V$ 中最低维规范不变分量场，可在其基础上构造超对称场强

$$W_\alpha=-\frac{1}{4}\bar D\bar D D_\alpha V$$

$$\bar W_{\dot\alpha}=-\frac{1}{4}DD\bar D_{\dot\alpha} V$$

由此构造的超场满足手性与规范不变性

$$\bar D_{\dot\beta}W_\alpha=0\qquad D_\beta\bar W_{\dot\alpha}=0$$

$$W_\alpha\to -\frac{1}{4}\bar D\bar D D_\alpha(V+\Phi+\Phi^\dagger)=W_\alpha-\frac{1}{4}\bar D\{\bar D,D_\alpha\}\Phi=W_\alpha$$

利用变量 $y=x+i\theta\sigma\bar\theta,y^\dagger=x-i\theta\sigma\bar\theta$，容易计算 $W_\alpha,W_{\dot\alpha}$ 的分量形式

$$\begin{aligned}V&=-\theta\sigma^m\bar\theta v_m(y)+i\theta\theta\bar\theta\bar\lambda(y)-i\bar\theta\bar\theta\theta\lambda(y)+\frac{1}{2}\theta\theta\bar\theta\bar\theta [D(y)-i\partial_m v^m(y)]\\&=-\theta\sigma^m\bar\theta v_m(y^\dagger)+i\theta\theta\bar\theta\bar\lambda(y^\dagger)-i\bar\theta\bar\theta\theta\lambda(y^\dagger)+\frac{1}{2}\theta\theta\bar\theta\bar\theta [D(y^\dagger)+i\partial_m v^m(y^\dagger)]\end{aligned}$$

$$W_\alpha=-i\lambda_\alpha(y)+\left[\delta_\alpha^{\;\;\beta}D(y)-\frac{i}{2}(\sigma^m\bar\sigma^n)_\alpha^{\;\;\beta}v_{mn}(y)\right]\theta_\beta+\theta\theta\sigma_{\alpha\dot\alpha}^{\;\;\;m}\partial_m\bar\lambda^{\dot\alpha}(y)$$

$$\bar W_{\dot\alpha}=i\bar\lambda_{\dot\alpha}(y^\dagger)+\left[\varepsilon_{\dot\alpha\dot\beta}D(y^\dagger)+\frac{i}{2}\varepsilon_{\dot\alpha\dot\gamma}(\bar\sigma^m\sigma^n)_{\;\;\dot\beta}^{\dot\gamma}v_{mn}(y^\dagger)\right]\bar\theta^{\dot\beta}-\varepsilon_{\dot\alpha\dot\beta}\bar\theta\bar\theta\bar\sigma^{m\dot\beta\alpha}\partial_m\bar\lambda_{\alpha}(y^\dagger)$$

超场 $W_\alpha,\bar W_{\dot\alpha}$ 仅含规范不变场 $D,\lambda_\alpha,v_{mn}=\partial_m v_n-\partial_n v_m$，其为满足手性与以下约束条件的解的最普遍形式；取 $\theta,\bar\theta=0$，由约束可知 $D$ 为实分量场

$$D^\alpha W_\alpha=\bar D_{\dot\alpha}\bar W^{\dot\alpha}$$

同理可将 $\exp(\theta Q+\bar\theta\bar Q)\times$ 作用于 $\lambda_\alpha,\bar\lambda_{\dot\alpha}$ 以构造 $W_\alpha,W_{\dot\alpha}$，其也满足以上约束

由于 $W_\alpha$ 为手性超场，$W^\alpha W_\alpha$ 的 $\theta\theta$ 分量在 $\delta_\theta$ 作用下变为时空导数

$$W^\alpha W_\alpha|_{\theta\theta}=-2i\lambda\sigma^m\partial_m\bar\lambda-\frac{1}{2}v^{mn}v_{mn}+D^2+\frac{i}{4}v^{mn}v^{lk}\varepsilon_{mnlk}$$

可知下式为自由矢量场Lagrangian的超对称规范不变推广

$$\mathscr{L}=\frac{1}{4}(W^\alpha W_\alpha|_{\theta\theta}+\bar W_\dot{\alpha}\bar W^\dot{\alpha}|_{\bar\theta\bar\theta})$$

分部积分，可得

$$\int\text{d}^4 x\;\mathscr{L}=\int\text{d}^4 x\;\left(\frac{1}{2}D^2-\frac{1}{4}v^{mn}v_{mn}-i\lambda\sigma^m\partial_m\bar\lambda\right)$$

由 $W^\alpha W_\alpha=\displaystyle-\frac{1}{4}\bar D\bar D W^\alpha D_\alpha V$，也可从 $\theta\theta\bar\theta\bar\theta$ 分量得到Lagrangian

$$\int\text{d}^4 x\;\mathscr{L}=\int\text{d}^4 x\;\frac{1}{4}\left.\left(W^\alpha D_\alpha V+\bar W_{\dot\alpha}\bar D^{\dot\alpha} V\right)\right|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}$$

另外还可以在上式中加入质量项 $m^2 V^2$，此项不满足规范不变，因此无法在WZ规范下计算，由矢量超场展开式直接计算可得

$$\begin{aligned}V^2|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}=&-\frac{1}{2}v_mv^m-\chi\lambda-\bar\chi\bar\lambda+\frac{1}{2}(M^2+N^2)\\&-\frac{i}{2}\chi\sigma^m\partial_m\bar\chi-\frac{i}{2}\bar\chi\bar\sigma^m\partial_m\chi\\&+\frac{1}{2}C\Box C+CD\end{aligned}$$

此项不仅赋予了矢量场 $v_m$ 质量，也引入了有质量多重态所需的额外的自由度 $C,\chi$，加入此项后的Lagrangian描述质量相同的一个矢量场，两个自旋 $1/2$ 场与一个标量场