Maxwell方程组与Helmholtz定理

真空Maxwell方程组

$$\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\qquad\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$$

$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\qquad\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{j}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}$$

Maxwell方程组隐含连续性方程

$$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})=\mu_0(\nabla\cdot\boldsymbol{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t})=0$$

无源条件下可得波动方程

$$\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{E}=0\qquad \left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{B}=0$$

Helmholtz定理$\quad$二次连续可微矢量场可分解为无旋与无散两部分

$$\begin{aligned}\boldsymbol{X}(r)&=\int X(r’)\delta(r-r’)\text{d}^3 r’\\&=-\frac{1}{4\pi}\int X(r’)\nabla^2\frac{1}{|r-r’|}\text{d}^3r’=-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\int X(r’)\frac{1}{|r-r’|}\text{d}^3r’\\&=-\frac{1}{4\pi}\nabla\left[\nabla\cdot\int \frac{X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\right]+\frac{1}{4\pi}\nabla\times\left[\nabla\times\int \frac{X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\right]\\&=-\nabla U+\nabla\times\boldsymbol{W}\color{white}{\frac{1}{1}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}U&=\frac{1}{4\pi}\nabla\cdot\int \frac{X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\\&=\frac{1}{4\pi}\int X(r’)\cdot\nabla\frac{1}{|r-r’|}\text{d}^3r’=-\frac{1}{4\pi}\int X(r’)\cdot\nabla’\frac{1}{|r-r’|}\text{d}^3r’\\&=-\frac{1}{4\pi}\int \nabla’\cdot\frac{X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’+\frac{1}{4\pi}\int \frac{\nabla’\cdot X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\\&=-\frac{1}{4\pi}\oint\text{d}\boldsymbol{S}’\cdot\frac{X(r’)}{|r-r’|}+\frac{1}{4\pi}\int \frac{\nabla’\cdot X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\boldsymbol{W}&=\frac{1}{4\pi}\nabla\times\int \frac{X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\\&=-\frac{1}{4\pi}\int X(r’)\times\nabla\frac{1}{|r-r’|}\text{d}^3r’=\frac{1}{4\pi}\int X(r’)\times\nabla’\frac{1}{|r-r’|}\text{d}^3r’\\&=-\frac{1}{4\pi}\int \nabla’\times\frac{X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’+\frac{1}{4\pi}\int \frac{\nabla’\times X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\\&=-\frac{1}{4\pi}\oint\text{d}\boldsymbol{S}’\times\frac{X(r’)}{|r-r’|}+\frac{1}{4\pi}\int \frac{\nabla’\times X(r’)}{|r-r’|}\text{d}^3r’\end{aligned}$$

将Helmholtz定理应用到电磁场中

规范自由度与Lagrangian

由以下两个Maxwell方程可引入势$\boldsymbol{A},\varphi$

$$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\qquad\Rightarrow\qquad\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}$$

$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\qquad\Rightarrow\qquad\boldsymbol{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$

$\boldsymbol{A},\varphi$ 具有以下规范自由度

$$\boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda\qquad\varphi\to\varphi-\frac{\partial\Lambda}{\partial t}$$

通常选取以下两种规范

$$\text{Columb}\qquad\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0$$

$$\text{Lorenz}\qquad\nabla\cdot\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0$$

在Lorenz规范下，Maxwell的其余两个方程具有简洁对称的形式

$$\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\qquad\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}$$

由运动方程可以定义电磁场中带电粒子的正则动量与势能

$$\begin{aligned}\frac{\dd(m\boldsymbol{v})}{\dd t}&=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\boldsymbol{v}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}))\\&=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\nabla(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})-\boldsymbol{v}\cdot\nabla\boldsymbol{A})\end{aligned}$$

$$\frac{\text{d}\boldsymbol{p}}{\text{d} t}=\frac{\text{d}(m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{A})}{\text{d} t}=-q\nabla(\varphi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})=-\nabla U$$

$$L=T-U=\frac{m\boldsymbol{v^2}}{2}-q(\varphi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})$$

$$H=\frac{(\boldsymbol{p}-q\boldsymbol{A})^2}{2m}+q\varphi$$

此Lagrangian对坐标变分即得粒子运动方程，对规范自由度变分则得连续性方程

时空反演

$n$ 阶张量 $T$ 在空间反演下变为 $(-1)^nT$ 称为张量，变为 $(-1)^{n+1}T$ 称为赝张量；

在时间反演下不变称为TRS-even，正负号改变称为TRS-odd

由电荷为TRS-even标量，$\displaystyle\boldsymbol{E}\propto \rho\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$，$\displaystyle\boldsymbol{B}\propto\boldsymbol{j}\times\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$

可知 $\boldsymbol{E}$ 为TRS-even矢量，$\boldsymbol{B}$ 为TRS-odd赝矢量

由 $\boldsymbol{B}$ 散度方程知若存在磁单极，则磁荷为TRS-odd赝标量

波动方程的解

对电磁场时间Fourier逆变换

$$\boldsymbol{E}=\frac{1}{2\pi}\int\mathcal{E}\;e^{-i\omega t}\dd t\qquad\boldsymbol{B}=\frac{1}{2\pi}\int\mathcal{B}\;e^{-i\omega t}\dd t$$

$$\tilde{\mathcal{E}}=\sqrt{\varepsilon_0}\,\mathcal{E}\qquad\tilde{\mathcal{B}}=\frac{i\mathcal{B}}{\sqrt{\mu_0}}$$

令$\displaystyle k_0=\frac{\omega}{c}$，代入波动方程和真空Maxwell方程组可得

$$(\nabla^2+k_0^2)\tilde{\mathcal{E}}=0\qquad(\nabla^2+k_0^2)\tilde{\mathcal{B}}=0$$

$$\nabla\cdot\tilde{\mathcal{E}}=0\qquad\nabla\cdot\tilde{\mathcal{B}}=0$$

$$\nabla\times\tilde{\mathcal{E}}=k_0\tilde{\mathcal{B}}\qquad\nabla\times\tilde{\mathcal{B}}=k_0\tilde{\mathcal{E}}$$

为求解波动方程，定义以下函数

$$\boldsymbol{M}=\nabla\times(\boldsymbol{c}\psi)\qquad\boldsymbol{N}=\frac{\nabla\times\boldsymbol{M}}{k}$$

$$\nabla^2\boldsymbol{c}=0\qquad(\nabla^2+k^2)\psi=0$$

易验证如此定义的$\boldsymbol{M},\boldsymbol{N}$满足与变换后的电磁场相同的方程组

$$(\nabla^2+k^2)\boldsymbol{M}=0\qquad(\nabla^2+k^2)\boldsymbol{N}=0$$

$$\nabla\cdot\boldsymbol{M}=0\qquad\nabla\cdot\boldsymbol{N}=0$$

$$\nabla\times\boldsymbol{M}=k\boldsymbol{N}\qquad\nabla\times\boldsymbol{N}=k\boldsymbol{M}$$

为求解便捷，作以下约定，选取垂直于主界面方向的矢量作为$\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{M}\perp\boldsymbol{c}$ 自然为横波

$$\nabla\cdot\boldsymbol{c}=\text{constant}\qquad\nabla\times\boldsymbol{c}=0$$

$$\boldsymbol{M}=\nabla\psi\times\boldsymbol{c}$$

若定义以下函数，则其也满足波动方程，但散度不为零，因而为纵波解

$$\boldsymbol{L}=\nabla\psi$$

$$(\nabla^2+k^2)\boldsymbol{L}=0\qquad\nabla\cdot\boldsymbol{L}\neq 0$$

平面波解

选取 $\boldsymbol{c}=\hat{z}$，由直角坐标系下标量波动方程解 $\psi_\boldsymbol{k}=A_\boldsymbol{k}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}$ 可知

$$\boldsymbol{M}_\boldsymbol{k}=ikA_\boldsymbol{k}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}(\hat{k}\times\hat{z})\qquad\boldsymbol{N}_\boldsymbol{k}=-kA_\boldsymbol{k}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}[\hat{k}\times(\hat{k}\times\hat{z})]$$

注意当 $\boldsymbol{k}\parallel\boldsymbol{c}$ 时，上述解为零，因此 $\nabla\psi\parallel\boldsymbol{c}$ 的情况需单独考虑

假定$\psi$仍为标量波动方程的解，且存在常矢量$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{M}=\psi\boldsymbol{a}$ 同样满足波动方程，问题退化为标量波动方程的求解，对于平面波可选择 $\boldsymbol{M}_\boldsymbol{k}\propto\hat{x}$，$\boldsymbol{N}_\boldsymbol{k}\propto\hat{y}$

柱面波解

假定系统具有沿$\hat{z}$方向的对称性，令 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{\rho}$，则 $\nabla\cdot\boldsymbol{c}=2，\nabla\times\boldsymbol{c}=0$
令 $\boldsymbol{M}=\psi(\rho,\phi)\hat{z}$，问题退化为求解标量波动方程，令$Z_m$为四类Bessel函数之一，柱坐标系下其通解为

$$\psi_m(\rho,\phi)=A_mZ_m(k\rho)e^{im\phi}$$

柱面波解与平面波解一样具有完备性，$2$维情况下任意波均可用其展开，以下为沿$\hat{x}$方向传播的平面波的柱面波展开

$$e^{ik\rho\cos\phi}=\sum_{m=-\infty}^\infty i^m J(k\rho)e^{im\phi}$$

球面波解

令 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{r}$，则 $\nabla\cdot\boldsymbol{c}=3，\nabla\times\boldsymbol{c}=0$，令$z_n$为四类球Bessel函数之一，$P_n^m$为连带勒让德函数，标量波动方程球坐标系下通解为

$$\psi_{mn}(r,\theta,\phi)=z_n(kr)P_n^m(\cos\theta)e^{im\phi}$$

$3$维情况下任意波均可用球面波展开，以下为沿$\hat{z}$方向传播的平面波的球面波展开，其中角标$(1)$表示径向函数选取第一类球Bessel函数$j_n(r)$

$$e^{ikr\cos\theta}=\sum_{n=1}^\infty i^n\frac{2n+1}{n(n+1)}(\boldsymbol{M}_{o1n}^{(1)}-i\boldsymbol{N}_{e1n}^{(1)})$$