Qubit

$$\ket{\psi}=\cos\frac{\theta}{2}\ket{0}+\sin\frac{\theta}{2}e^{i\varphi}\ket{1}=(\cos\frac{\theta}{2},\sin\frac{\theta}{2}e^{i\varphi})^T$$

以pauli矩阵为基，定义矩阵表示下矢量的内积

$$\sigma_i\cdot\sigma_j=\frac{1}{2}\Tr(\sigma_i\sigma_j)=\delta_{ij}$$

$$\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=\frac{1}{2}\Tr[\boldsymbol{v}\boldsymbol{w}]\qquad\boldsymbol{v}=\vec{v}\cdot\vec{\sigma}$$

qubit与单位球面$\text{SO}(3)$存在双射，且为对应的矢量矩阵表示下特征值为$1$的特征向量

$$\hat{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)^T$$

$$\sigma_\hat{n}=\hat{n}\cdot\vec{\sigma}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta e^{-i\varphi}\\\sin\theta e^{i\varphi}&-\cos\theta\end{pmatrix}$$

$$\sigma_\hat{n}\ket{\psi}=\ket{\psi}$$

pauli矩阵为$\text{SU}(2)$生成元，以下算符将qubit绕$\hat{n}$逆时针旋转$\delta$

$$R_\hat{n}(\delta)=e^{-i\frac{\delta}{2}\sigma_\hat{n}}=\cos\frac{\delta}{2}I_2-i\sin\frac{\delta}{2}\sigma_\hat{n}$$

将密度矩阵在pauli矩阵基下表示，对于纯qubit，$\Tr\rho^2=1$，对应 $x^2+y^2+z^2=1$ 的单位球面，其上信息熵为零；球心处信息熵最大，为$\ln{2}$

$$\rho=\frac{1}{2}(I_2+x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+z&x-iy\\x+iy&1-z\end{pmatrix}$$

$$\Tr\rho=1\qquad\Tr\rho^2\le 1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le 1$$

记密度矩阵对应的矢量为$\vec{r}$

$$\vec{r}=(x,y,z)^T$$

$$\langle \sigma_\hat{n}\rangle=\Tr(\rho\sigma_\hat{n})=\vec{r}\cdot\hat{n}$$

量子电路

qubit在并行运算上相较经典bit具有优势，并行$2^n$次计算需要$n2^n$个非纠缠经典bit，但仅需$n$个纠缠qubit，$2^n\times 2^n$算符作用于n-qubit相当于同时处理$2^n$个本征态

单qubit门

相移门

$$\qquad T(\delta)=\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\delta}\end{pmatrix}$$

Hadamard门，n个Hadamard门作用于n-qubit初始态可得到所有本征态的叠加，称为Walsh-Hadamard变换

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

$$W_n=\underset{n}{\displaystyle\underbrace{H\otimes H\otimes\cdots\otimes H}}\qquad W_n\underset{n}{\displaystyle\underbrace{\ket{00\cdots0}}}=\frac{1}{\sqrt{2}^n}\sum_{x=0}^{2^n-1}\ket{x}$$

双qubit门