上同调群

万有系数定理$\quad$若链复形$C$的自由交换群系数的同调为$H_n(C)$，则有以下正合序列

$$0\to\text{Ext}(H_{n-1}(C),G)\to H^n(C;G)\to\text{Hom}(H_n(C),G)\to 0$$

其中$\text{Ext}$满足

$1.$$\quad$$\text{Ext}(H\oplus H’,G)\cong\text{Ext}(H,G)\oplus\text{Ext}(H’,G)$

$2.$$\quad$$\text{Ext}(H,G)=0\quad\text{if } H \text{ is free}$

$3.$$\quad$$\text{Ext}(\mathbb{Z}_n,G)\cong G/nG$

相对上同调$\quad$以下为正合序列

$$\cdots\to H^{n}(X,A;G)\to H^n(X;G)\to H^n(A;G)\to H^{n+1}(X,A;G)\to\cdots$$