共形变换
满足以下条件的映射 $\varphi:U\to U’;x\mapsto x’$ 称为共形变换，其中 $U,U’$ 分别为 $(M,g),(M’,g’)$ 中开集，$\Lambda(x)$ 称为共形因子
$$\varphi^* g’=\Lambda g\qquad\Leftrightarrow\qquad g’_{\rho\sigma}(x’)\frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x^{\prime\sigma}}{\partial x^{\nu}}=\Lambda(x)g_{\mu\nu}(x)$$
考虑 $M=M’$ ，并取平直度规 $\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,\cdots,+1,\cdots)$，取以下无穷小变换
$$x^{\prime\mu}=x^\mu+\epsilon^\mu(x)+\mathcal{O}(\epsilon^2)$$
代入共形变换条件中可得下式，其中 $d$ 为时空维数
$$\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)\eta_{\mu\nu}\qquad\Lambda(x)=1+\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)$$
由上式可推出 $\epsilon$ 满足的另外两个常用关系式
$$(d-1)\Box(\partial\cdot\epsilon)=0$$
$$2\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_\rho=\frac{2}{d}(-\eta_{\mu\nu}\partial_\rho+\eta_{\rho\mu}\partial_\nu+\eta_{\nu\rho}\partial_\mu)(\partial\cdot\epsilon)$$
$d\ge 3$ 变换
$d=1$ 时，$\epsilon$ 无限制，任意光滑映射均为共形变换；$d=2$ 的情况在下文讨论；$d\ge 3$ 时，将 $\Box(\partial\cdot\epsilon)=0$ 代回共形变换条件可知 $\partial_\mu\partial_\nu(\partial\cdot\epsilon)=0$，$\partial\cdot\epsilon$ 最多为 $x^\mu$ 的线性函数，因此 $\epsilon$ 具有以下形式
$$\epsilon_\mu=a_\mu+b_{\mu\nu}x^\nu+c_{\mu\nu\rho}x^\nu x^\rho$$
不同的项对应不同类型的无穷小变换，其中 $a_\mu$ 无限制条件，对应平移；$b_{\mu\nu}$ 满足以下条件，可将 $b_{\mu\nu}$ 拆为对称与反称两部分，分别对应缩放与旋转
$$b_{\mu\nu}+b_{\nu\mu}=\frac{2}{d}(b_{\rho\sigma}\eta^{\rho\sigma})\eta_{\mu\nu}\qquad b_{\mu\nu}=\alpha\eta_{\mu\nu}+m_{\mu\nu}$$
$c_{\mu\nu\rho}$ 满足以下条件，对应特殊共形变换(SCT)
$$c_{\mu\nu\rho}=\eta_{\mu\nu}f_{\rho}+\eta_{\rho\mu}f_\nu-\eta_{\nu\rho}f_\mu\qquad f_\mu=\frac{1}{d}c^\nu_{\;\nu\mu}$$
$$x^{\prime\mu}=x^\mu+2(f\cdot x)x^\mu-x^2f^\mu$$
以上各种无穷小变换对应的有限变换及生成元如下
| 变换 | 生成元 | 共形因子 | |
|---|---|---|---|
| 平移 | $x^{\prime\mu}=x^\mu+a^\mu$ | $P_\mu=-i\partial_\mu$ | $\Lambda(x)=1$ |
| 缩放 | $x^{\prime\mu}=\alpha x^\mu$ | $D=-ix^\mu\partial_\mu$ | $\Lambda(x)=\alpha^2$ |
| 旋转 | $x^{\prime\mu}=M^{\mu}_{\;\;\nu} x^\nu$ | $L_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)$ | $\Lambda(x)=1$ |
| SCT | $\displaystyle x^{\prime\mu}=\frac{x^\mu-x^2 f^\mu}{1-2fx+f^2x^2}$ | $K_\mu=-i(2x_\mu x^\nu\partial_\nu-x^2\partial_\mu)$ | $\displaystyle\Lambda(x)=\frac{1}{(1-2fx+f^2x^2)^2}$ |
其中有限SCT难以从其无穷小变换直接推出，注意到 $x^{\prime\mu}=x^\mu/x^2$ 也为共形映射，可将其与平移复合，构造以下共形映射，可以发现当 $f^\mu\to 0$ 时，$x^{\prime\mu}\to x^\mu$，因而此变换具有无穷小版本，比较可知其即为有限SCT
$$x^{\prime\mu}=\frac{x^\mu/x^2-f^\mu}{(x^\mu/x^2-f^\mu)\cdot(x^\mu/x^2-f^\mu)}$$
$d\ge 3$ 代数
所有共形变换构成共形群，其Lie代数称为共形代数，代数的维数即其生成元个数
$$d+1+\frac{d(d-1)}{2}+d=\frac{(d+2)(d+1)}{2}$$
直接计算其生成元对易关系如下
$$[D,P_\mu]=iP_\mu\qquad [D,K_\mu]=-iK_\mu$$
$$[K_\mu,P_\nu]=2i(\eta_{\mu\nu}D-L_{\mu\nu})$$
$$[K_\rho,L_{\mu\nu}]=i(\eta_{\rho\mu}K_\nu-\eta_{\rho\nu}K_\mu)$$
$$[P_\rho,L_{\mu\nu}]=i(\eta_{\rho\mu}P_\nu-\eta_{\rho\nu}P_\mu)$$
$$[L_{\mu\nu},L_{\rho\sigma}]=i(\eta_{\mu\sigma}L_{\nu\rho}+\eta_{\nu\rho}L_{\mu\sigma}-\eta_{\mu\rho}L_{\nu\sigma}-\eta_{\nu\sigma}L_{\mu\rho})$$
为简化以上对易关系，定义以下生成元
$$J_{\mu\nu}=L_{\mu\nu}\qquad J_{-1,0}=D$$
$$J_{-1,\mu}=\frac{1}{2}(P_\mu-K_\mu)\qquad J_{0,\mu}=\frac{1}{2}(P_\mu+K_\mu)$$
对于 $m,n=-1,0,1,\cdots,d$，对易关系简化为
$$[J_{mn},J_{rs}]=i(\eta_{ms}J_{nr}+\eta_{nr}J_{ms}-\eta_{mr}J_{ns}-\eta_{ns}J_{mr})$$
对于 $\mathbb{R}^{p,q}\;,d=p+q\ge 3$，此代数即为 $\mathfrak{so}(p+1,q+1)$，对应共形群 $SO(p+1,q+1)$
$d=2$ 变换
选取Euclidean度规，二维共形变换条件为
$$\partial_1\epsilon_1=\partial_2\epsilon_2\qquad \partial_1\epsilon_2=-\partial_2\epsilon_1$$
若引进复变量，共形变换条件即为Cauchy-Riemann条件，可知 $\epsilon(z)$ 为全纯函数，因此任意无穷小全纯变换 $z’=z+\epsilon(z)$ 均对应一个二维共形变换
$$z=x^1+ix^2\qquad \epsilon=\epsilon^1+i\epsilon^2$$
$$\bar z=x^1-ix^2\qquad \bar\epsilon=\epsilon^1-i\epsilon^2$$
令 $z^1=z,z^2=\bar z$，可得此坐标系下线元及度规
$$\text{d} s^2=(\text{d} x^1)^2+(\text{d} x^2)^2=\text{d} z\text{d} \bar z=g_{\alpha\beta}\text{d} z^\alpha\text{d} z^\beta$$
$$g_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\qquad g^{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}$$
取 $z’=f(z)$ 为全纯变换，则其满足共形变换条件
$$g_{\alpha\beta}\frac{\partial z^{\prime\alpha}}{\partial z^{\gamma}}\frac{\partial z^{\prime\beta}}{\partial z^{\delta}}=\Lambda(z,\bar z)g_{\gamma\delta}\qquad \Lambda(z,\bar{z})=\left|\frac{\partial f(z)}{\partial z}\right|^2$$
全局共形变换
由于$\mathbb{C}$上某些共形变换会将有限点映到无穷，因此需在Riemann球面 $S^2\simeq \mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 上考虑二维全局共形变换，然而并非所有生成元均在 $S^2$ 上良定义，在 $z=0$ 处，$l_n=-z^{n+1}\partial_z$ 仅在 $n\ge -1$ 时非奇异；在 $z=\infty$ 处，作代换 $w=-1/z$，$l_n=-(-1/w)^{n-1}\partial_w$ 仅在 $n\le 1$ 时非奇异，因此 $S^2$ 上全局共形变换仅有以下三个生成元
$$l_{-1}=-\partial_z\qquad l_0=-z\partial_z\qquad l_1=-z^2\partial_z$$
由Witt代数可知，这三个生成元构成一组封闭代数，因此可生成 $S^2$ 上共形群，其中 $l_{-1}$ 生成平移 $z\mapsto z+b$；$l_0$ 生成缩放旋转 $z\mapsto az$，$(l_0+\bar l_0)=-r\partial_r$ 生成缩放，$i(l_0-\bar l_0)=-\partial_\varphi$ 生成旋转；$l_1$ 生成SCT(反演$\to$平移$\to$反演) $z\mapsto z/(cz+1)$
因此 $\{l_{-1},l_0,l_1\}$ 生成的可逆共形变换具有以下形式，可知 $S^2$ 上共形群即为Möbius群 $SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$
$$z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\qquad ad-bc=1$$
Witt代数
由于 $\epsilon(z)$ 在某开集上全纯，故可将其在 $z=0$ 附近Laurent展开
$$z’=z+\epsilon(z)=z+\sum_{n\in\mathbb{Z}}\epsilon_n z^{n+1}$$
$$\bar z’=\bar z+\bar\epsilon(\bar z)=\bar z+\sum_{n\in\mathbb{Z}}\bar\epsilon_n\bar z^{n+1}$$
考虑标量场 $\phi(z,\bar z)$ 的无穷小共形变换
$$\phi’(z’,\bar z’)=\phi(z,\bar z)$$
$$\delta \phi=\phi’(z,\bar z)-\phi(z,\bar z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}(\epsilon_nl_n+\bar\epsilon_n\bar l_n)\phi(z,\bar z)$$
可见二维无穷小共形变换有无限个，其生成元及对易关系如下，注意到 $l_m,\bar l_n$ 对易，因此 $l,\bar l$ 构成的代数为两组同构Lie代数的直和，称其中一组为Witt代数
$$l_n=-z^{n+1}\partial\qquad \bar l_n=-\bar z^{n+1}\bar\partial$$
$$[l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n}$$
$$[\bar l_m,\bar l_n]=(m-n)\bar l_{m+n}$$
$$[l_m,\bar l_n]=0$$
Virasoro代数
对于Lie代数$\mathfrak{g}$，可对其进行中心扩张 $\widetilde{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\oplus\mathbb{C}$，其中 $p(x,y)$ 为双线性函数，$c$ 称为中心荷
$$[\widetilde{x},\widetilde{y}]_{\widetilde{\mathfrak{g}}}=[x,y]_{\mathfrak{g}}+c\;p(x,y)$$
$$[\widetilde{x},c]_{\widetilde{\mathfrak{g}}}=0\qquad [c,c]_{\widetilde{\mathfrak{g}}}=0$$
$$\widetilde{x},\widetilde{y}\in\widetilde{\mathfrak{g}}\qquad x,y\in\mathfrak{g}\qquad c\in\mathbb{C}$$
对Witt代数进行中心扩张
$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+c\;p(m,n)$$
首先注意到 $p(m,n)=-p(n,m)$；其次可以对生成元进行以下重定义令 $p(1,-1),p(n,0)=0$
$$\widehat{L}_0=L_0+\frac{c\;p(1,-1)}{2}\qquad\widehat{L}_n=L_n+\frac{c\;p(n,0)}{n}\quad \text{for}\; n\neq 0$$
$$[\widehat L_n,\widehat L_0]=nL_n+c\;p(n,0)=n\widehat L_n$$
$$[\widehat L_1,\widehat L_{-1}]=2L_0+c\;p(1,-1)=2\widehat L_0$$
然后计算以下两个Jacobi等式，可知 $p(m,n)=0\quad\text{for}\;m\neq n$；$p(n,-n)=(n+1)n(n-1)/12$，其中进行了归一化 $p(2,-2)=1/2$，原因在于计算自由玻色子中心荷时可得 $c=1$
$$[[L_m,L_n],L_0]+[[L_n,L_0],L_m]+[[L_0,L_m],L_n]=c(n+m)p(n,m)$$
$$\begin{aligned}&\quad[[L_{-n+1},L_n],L_{-1}]+[[L_n,L_{-1}],L_{-n+1}]+[[L_{-1},L_{-n+1}],L_n]\\&=c[(n-2)p(-n,n)-(n+1)p(-n+1,n-1)]\color{white}{\displaystyle\sum}\end{aligned}$$
将Witt代数的此具有中心荷 $c$ 的中心扩张称为Virasoro代数 $\text{Vir}_c$，其对易关系如下
$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}$$