连续对称变换

考虑连续对称场变换及其无穷小形式

$$x\to x^{\prime }\mathrm{\Phi }(x)\to {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x^{\prime })=\mathcal{F}(\mathrm{\Phi }(x))$$

$$x^{\prime \mu }=x^{\mu }+{\omega }_a\frac{\delta x^{\mu }}{\delta {\omega }_a}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x^{\prime })=\mathrm{\Phi }(x)+{\omega }_a\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta {\omega }_a}(x)$$

可定义变换生成元 $G_a$

$${\delta }_{\omega }\mathrm{\Phi }(x)={\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)-\mathrm{\Phi }(x)=-i{\omega }_a{G}_a\mathrm{\Phi }(x)$$

$$i{G}_a\mathrm{\Phi }=\frac{\delta x^{\mu }}{\delta {\omega }_a}{\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi }-\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta {\omega }_a}$$

平移、缩放与旋转变换及其生成元形式如下

$$\begin{array}{lll}& {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x+a)=\mathrm{\Phi }(x)& P_{\mu }=-i{\partial }_{\mu }\\ \\ & {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(\lambda x)={\lambda }^{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{\Phi }(x)& D=-i{x}^{\mu }{\partial }_{\mu }-i\mathrm{\Delta }\\ \\ & {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(\mathrm{\Lambda }x)=U(\mathrm{\Lambda })\mathrm{\Phi }(x)& L^{\mu \nu }=i(x^{\mu }{\partial }^{\nu }-x^{\nu }{\partial }^{\mu })+S^{\mu \nu }\end{array}$$

Noether定理

Noether定理表述了作用量的每个连续对称变化都对应一个经典守恒流，考虑以下作用量及其由 ${\omega }_a{G}_a$ 生成的对称变化

$$\mathcal{S}=\int {\text{d}}^{d}x\mathcal{L}(\mathrm{\Phi },{\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })$$

$$S^{\prime }=\int {\text{d}}^{d}x\left|\frac{\partial x^{\prime }}{\partial x}\right|\mathcal{L}(\mathcal{F}(\mathrm{\Phi }(x)),\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}{\partial }_{\nu }\mathcal{F}(\mathrm{\Phi }(x)))$$

其无穷小变化形式如下

$$S^{\prime }=\int {\text{d}}^{d}x(1+{\partial }_{\mu }\left({\omega }_a\frac{\delta x^{\mu }}{\delta {\omega }_a}\right))\mathcal{L}(\mathrm{\Phi }+{\omega }_a\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta {\omega }_a},({\delta }_{\mu }^{\nu }-{\partial }_{\mu }\left({\omega }_a\frac{\delta x^{\nu }}{\delta {\omega }_a}\right))({\partial }_{\nu }\mathrm{\Phi }+{\partial }_{\nu }\left({\omega }_a\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta {\omega }_a}\right)))$$

由于作用量在刚性变换下对称，即 ${\omega }_a$ 为常数时 $\delta S=S^{\prime }-S=0$，因此作用量一阶变分仅含 ${\omega }_a$ 导数项，可将其写为以下形式

$$\delta S=-\int {\text{d}}^{d}x{j}_a^{\mu }{\partial }_{\mu }{\omega }_a=\int {\text{d}}^{d}x{\omega }_a{\partial }_{\mu }{j}_a^{\mu }$$

与无穷小变化形式比较即得 $j_a^{\mu }$ 表达式

$$j_a^{\mu }=(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}{\partial }_{\nu }\mathrm{\Phi }-{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L})\frac{\delta x^{\nu }}{\delta {\omega }_a}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta {\omega }_a}$$

若场满足经典运动方程，则对任意无穷小参数 ${\omega }_a(x)$ 均有 $\delta S=0$，可知 $j_a^{\mu }$ 散度为零，即 $j_a^{\mu }$ 为守恒流，其对应守恒荷 $Q_a$

$${\partial }_{\mu }{j}_a^{\mu }=0Q_a=\int {\text{d}}^{d-1}x{j}_a^0$$

$$\frac{\mathrm{d}{Q}_a}{\mathrm{d}t}=\int {\text{d}}^{d-1}x{\partial }_0{j}_a^0=-\int {\text{d}}^{d-1}x{\partial }_i{j}_a^i=0$$

其中守恒流添加一项反对称张量的散度仍可满足连续性方程

$$j_a^{\mu }\to j_a^{\mu }+{\partial }_{\nu }{B}_a^{\nu \mu }{B}_a^{\nu \mu }=-B_a^{\mu \nu }$$

考虑平移变换，其守恒流称为能动张量，添加一项散度仍可满足连续性方程

$$T_c^{\mu \nu }=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}{\partial }^{\nu }\mathrm{\Phi }-{\eta }^{\mu \nu }\mathcal{L}$$

$$T_B^{\mu \nu }=T_c^{\mu \nu }+{\partial }_{\rho }{B}^{\rho \mu \nu }{B}^{\rho \mu \nu }=-B^{\mu \rho \nu }$$

考虑Lorentz变换的守恒流

$$j^{\mu \nu \rho }=T_c^{\mu \nu }{x}^{\rho }-T_c^{\mu \rho }{x}^{\nu }+\frac{i}{2}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}{S}^{\nu \rho }\mathrm{\Phi }$$

寻找 $B^{\mu \nu \rho }$ 使得 $j^{\mu \nu \rho }$ 具有以下形式，由连续性条件知 $T_B^{\mu \nu }$ 对称，称为Belinfante张量

$$j^{\mu \nu \rho }=T_B^{\mu \nu }{x}^{\rho }-T_B^{\mu \rho }{x}^{\nu }{T}_B^{\mu \nu }=T_B^{\nu \mu }$$

满足上述条件的 $B^{\mu \nu \rho }$ 并不唯一，可验证以下选择符合要求

$$B^{\mu \rho \nu }=\frac{i}{4}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}{S}^{\nu \rho }\mathrm{\Phi }+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\rho }\mathrm{\Phi })}{S}^{\mu \nu }\mathrm{\Phi }+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\nu }\mathrm{\Phi })}{S}^{\mu \rho }\mathrm{\Phi })$$

$$T_c^{\rho \nu }-T_c^{\nu \rho }=-{\partial }_{\mu }\left(\frac{i}{2}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}{S}^{\nu \rho }\mathrm{\Phi }\right)$$

$${\partial }_{\mu }{B}^{\mu \rho \nu }-{\partial }_{\mu }{B}^{\mu \nu \rho }={\partial }_{\mu }\left(\frac{i}{2}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}{S}^{\nu \rho }\mathrm{\Phi }\right)$$

考虑缩放变换的守恒流

$$j_D^{\mu }=T_{c\nu }^{\mu }{x}^{\nu }+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$$

同样可修改能动张量使其具有以下形式，并且仍保持 $T^{\mu \nu }$ 对称

$$j_D^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }{T}_{\mu }^{\mu }=0$$

因此下文中默认能动张量无迹且对称

关联函数

考虑以下关联函数，其中 $x_1^0\ge \cdots \ge x_n^0$ 已按时序排列，下文关联函数默认省略时序

$$⟨\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)⟩=\frac{1}{\mathcal{Z}}\int [\mathrm{d}\mathrm{\Phi }]\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)\exp (-S[\mathrm{\Phi }])$$

$$\mathcal{Z}=\int [\mathrm{d}\mathrm{\Phi }]\exp (-S[\mathrm{\Phi }])$$

由对称变换下测度和作用量不变可得

$$\begin{array}{rl}⟨\mathrm{\Phi }(x_1^{\prime })\cdots \mathrm{\Phi }(x_n^{\prime })⟩& =\frac{1}{\mathcal{Z}}\int [\mathrm{d}\mathrm{\Phi }]\mathrm{\Phi }(x_1^{\prime })\cdots \mathrm{\Phi }(x_n^{\prime })\exp (-S[\mathrm{\Phi }])\\ & =\frac{1}{\mathcal{Z}}\int [\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }]{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_1^{\prime })\cdots {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_n^{\prime })\exp (-S[{\mathrm{\Phi }}^{\prime }])\\ & =\frac{1}{\mathcal{Z}}\int [\mathrm{d}\mathrm{\Phi }]\mathcal{F}(\mathrm{\Phi }(x_1))\cdots \mathcal{F}(\mathrm{\Phi }(x_n))\exp (-S[\mathrm{\Phi }])\\ & =⟨\mathcal{F}(\mathrm{\Phi }(x_1))\cdots \mathcal{F}(\mathrm{\Phi }(x_n))⟩\end{array}$$

由上式可知关联函数在平移、旋转与缩放下的变化形式

$$⟨\mathrm{\Phi }(x_1+a_1)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n+a_n)⟩=⟨\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)⟩$$

$$⟨\mathrm{\Phi }({\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}_1^{\nu })\cdots \mathrm{\Phi }({\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}_n^{\nu })⟩=⟨\mathrm{\Phi }(x_1^{\mu })\cdots \mathrm{\Phi }(x_n^{\mu })⟩$$

$$⟨{\varphi }_1(\lambda x_1)\cdots {\varphi }_n(\lambda x_n)⟩={\lambda }^{-{\mathrm{\Delta }}_1}\cdots {\lambda }^{-{\mathrm{\Delta }}_n}⟨{\varphi }_1(x_1)\cdots {\varphi }_n(x_n)⟩$$

考虑无旋场的两点关联函数，以上三种对称性要求其具有以下形式

$$⟨{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2)⟩=\frac{C_{12}}{|x_1-x_2{|}^{{\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2}}$$

另外还剩下一种共形变换，即SCT

$$x^{\prime \mu }=\frac{x^{\mu }-x^2{f}^{\mu }}{1-2fx+f^2{x}^2}$$

$$|x_i^{\prime }-x_j^{\prime }|=\frac{|x_i-x_j|}{(1-2f{x}_i+f^2{x}_i^2{)}^{1/2}(1-2f{x}_j+f^2{x}_j^2{)}^{1/2}}$$

由SCT对称性可定出缩放维数 ${\mathrm{\Delta }}_1={\mathrm{\Delta }}_2$，即只有共形维数相等的准初级场是相关的

$$\frac{C_{12}}{|x_1-x_2{|}^{{\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2}}=\frac{C_{12}}{{\gamma }_1^{{\mathrm{\Delta }}_1}{\gamma }_2^{{\mathrm{\Delta }}_2}}\frac{({\gamma }_1{\gamma }_2{)}^{({\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2)/2}}{|x_1-x_2{|}^{{\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2}}$$

$${\gamma }_i=1-2f{x}_i+f^2{x}_i^2$$

综上两点关联函数具有以下形式

$$⟨{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2)⟩=\{\begin{array}{}{\displaystyle \frac{C_{12}}{|x_1-x_2{|}^{2{\mathrm{\Delta }}_1}}}& \text{if}& {\mathrm{\Delta }}_1={\mathrm{\Delta }}_2\\ 0& \text{if}& {\mathrm{\Delta }}_1\ne {\mathrm{\Delta }}_2\end{array}$$

同样可以定出三点及四点关联函数的形式，构造四点关联函数利用了交比共形不变的性质，其中 $x_{ij}=|x_i-x_j|$，$\mathrm{\Delta }=\sum _{i=1}^4{\mathrm{\Delta }}_i$

$$⟨{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2){\varphi }_3(x_3)⟩=\frac{C_{123}}{x_{12}^{{\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2-{\mathrm{\Delta }}_3}{x}_{23}^{{\mathrm{\Delta }}_2+{\mathrm{\Delta }}_3-{\mathrm{\Delta }}_1}{x}_{13}^{{\mathrm{\Delta }}_3+{\mathrm{\Delta }}_1-{\mathrm{\Delta }}_2}}$$

$$⟨{\varphi }_1(x_1)\cdots {\varphi }_4(x_4)⟩=f(\frac{x_{12}{x}_{34}}{x_{13}{x}_{24}},\frac{x_{12}{x}_{34}}{x_{23}{x}_{14}})\prod _{i<j}^4{x}_{ij}^{\mathrm{\Delta }/3-{\mathrm{\Delta }}_i-{\mathrm{\Delta }}_j}$$

Ward-Takahashi等式

Noether定理的量子化版本称为Ward-Takahashi等式，考虑无穷小对称场变换

$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=\mathrm{\Phi }(x)-i{\omega }_a{G}_a\mathrm{\Phi }(x)$$

记 $X=\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)$ ，已按时序排列，假定积分测度不变 $[\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }]=[\mathrm{d}\mathrm{\Phi }]$

$$⟨X⟩=\frac{1}{\mathcal{Z}}\int [\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }](X+\delta X)\exp (-S[\mathrm{\Phi }]-\int {\text{d}}^{d}x{\omega }_a(x){\partial }_{\mu }{j}_a^{\mu })$$

$$⟨\delta X⟩=\int {\text{d}}^{d}x{\omega }_a(x){\partial }_{\mu }⟨j_a^{\mu }X⟩$$

由无穷小变换写出 $\delta X$ 具体形式

$$\begin{array}{rl}\delta X& =-i\sum _{i=1}^n{\omega }_a(x_i)\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots G_a\mathrm{\Phi }(x_i)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)\\ & =-i\int {\text{d}}^{d}x{\omega }_a(x)\sum _{i=1}^n\delta (x-x_i)\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots G_a\mathrm{\Phi }(x_i)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)\end{array}$$

比较即得Ward-Takahashi等式

$$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}⟨j_a^{\mu }(x)\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)⟩=-i\sum _{i=1}^n\delta (x-x_i)⟨\mathrm{\Phi }(x_1)\cdots G_a\mathrm{\Phi }(x_i)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)⟩$$

令 $t=x_1^0$，$Y=\mathrm{\Phi }(x_2)\cdots \mathrm{\Phi }(x_n)$，对Ward-Takahashi等式在狭窄区间 $x^0\in [t_{-},t_{+}],t_{-}<t<t_{+}$ 内积分可得

$$⟨Q_a(t_{+})\mathrm{\Phi }(x_1)Y⟩-⟨Q_a(t_{-})\mathrm{\Phi }(x_1)Y⟩=-i⟨G_a\mathrm{\Phi }(x_1)Y⟩$$

取极限 $t_{-}\to t_{+}$，由 $Y$ 的任意性可知守恒荷即为无穷小对称变换生成元

$$[Q_a,\mathrm{\Phi }]=-i{G}_a\mathrm{\Phi }$$

共形Ward-Takahashi等式

对无穷小共形变换 $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+{ϵ}^{\mu }(x)$，守恒流可写为以下形式，其中 $T^{\mu \nu }$ 对称无迹

$$j_a^{\mu }(x){\omega }_a=T^{\mu \nu }{ϵ}_{\nu }$$

代入ward-Takahashi等式可得下式，其中区域 $D$ 包含 $X$ 中所有场的坐标

$$⟨{\delta }_{ϵ}X⟩={\int }_D{\text{d}}^{2}x{\partial }_{\mu }⟨T^{\mu \nu }(x){ϵ}_{\nu }(x)X⟩$$

将二维能动张量用复变量表示，${\displaystyle T_{\alpha \beta }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\beta }}{T}_{\mu \nu }}$，其中$x^{\alpha }$对应$(z,\overline{z})$，利用能动张量对称性，迹和散度为零可得

$$T_{zz}=\frac{1}{2}(T_{00}-i{T}_{10})T_{\overline{z}\overline{z}}=\frac{1}{2}(T_{00}+i{T}_{10})T_{z\overline{z}}=T_{\overline{z}z}=0$$

$${\partial }_{\overline{z}}{T}_{zz}=0{\partial }_z{T}_{\overline{z}\overline{z}}=0$$

因此二维能动张量仅有全纯和共轭全纯两个非零分量，可定义

$$T(z)=-2\pi T_{zz}(z,\overline{z})\bar{T}(\overline{z})=-2\pi T_{\overline{z}\overline{z}}(z,\overline{z})$$

$$ϵ(z)={ϵ}^z\overline{ϵ}(\overline{z})={ϵ}^{\overline{z}}{ϵ}^z={ϵ}^0+i{ϵ}^1{ϵ}^{\overline{z}}={ϵ}^0-i{ϵ}^1$$

选取Euclidean度规，由Stokes公式可得以下共形Ward-Takahashi等式，其中积分路径 $C=\partial D$ 包含 $X$ 中所有场的坐标

$$⟨{\delta }_{ϵ,\overline{ϵ}}X⟩=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C[-\text{d}zϵ(z)⟨T(z)X⟩+\text{d}\overline{z}\overline{ϵ}(\overline{z})⟨\bar{T}(\overline{z})X⟩]$$

径序量子化

注意上文推导中关联函数均默认省略了时序，其不利于共形Ward-Takahashi等式中环路积分的计算，因此作以下映射，使得时序 $\mathcal{T}$ 成为径序 $\mathcal{R}$

$$w=e^z=e^{x^0+i{x}^1}$$

将共形Ward-Takahashi等式中 $z$ 替换为 $w$

$$\mathrm{d}z=\frac{\mathrm{d}w}{w}ϵ(z)=\frac{ϵ(w)}{w}T(z)=w^{2}T(w)$$

共形Ward-Takahashi等式形式在此映射下仍保持不变

$$⟨{\delta }_{ϵ,\overline{ϵ}}X⟩=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C[-\text{d}wϵ(w)⟨T(w)X⟩+\text{d}\overline{w}\overline{ϵ}(\overline{w})⟨\bar{T}(\overline{w})X⟩]$$

注意在 $w=e^z$ 映射下环路积分圈数可能增多，故应限制初始Euclidean平面上坐标$(x^0=it,x^1)$范围，使得 $x^1\in [0,2\pi ]$，让平面卷曲成无穷长圆柱，即可保证共形Ward-Takahashi等式中环路积分圈数仍为$1$

Hamiltonian与动量算符分别为时间平移与空间平移的生成元，在此映射下成为 $w$ 平面上缩放与旋转的生成元，可将其写为

$$H=L_0+{\bar{L}}_{0}P=i(L_0-{\bar{L}}_0)$$

另外在径序下算符对易子可表示为环路积分的形式

$$[A,B]={\oint }_{C(0)}\mathrm{d}w{\oint }_{C(w)}\mathrm{d}za(z)b(w)$$

$$A={\oint }_{C}a(z)\mathrm{d}zB={\oint }_{C}b(w)\mathrm{d}w$$

由Euclidean平面守恒荷 $Q_a={\displaystyle \int \text{d}{x}^1{j}_a^0{x}^0=\text{const.}}$，${\omega }_a{j}_a^{\mu }=T^{\mu \nu }{ϵ}_{\nu }$，可推出径序复平面中守恒荷表达式

$$Q_{ϵ,\overline{ϵ}}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C(\text{d}wT(w)ϵ(w)-\text{d}\overline{w}\bar{T}(\overline{w})\overline{ϵ}(\overline{w}))$$

共形Ward-Takahashi等式可用守恒荷表示为以下形式

$${\delta }_{ϵ,\overline{ϵ}}X=-[Q_{ϵ,\overline{ϵ}},X]$$

下文默认使用径序复平面，即 $z=e^{x^0+i{x}^1}$，$z$ 平面上原点对应负无穷时刻；下文关联函数与OPE均默认省略径序

初级场

给定缩放维数 $\mathrm{\Delta }$ 和平面自旋 $s$，若场 $\varphi (z,\overline{z})$ 在共形变换 $z\mapsto w(z)$ 下按以下规律变化，则称其为具有共形维数 $(h,\overline{h})$ 的初级场；若此规律仅适用于 $w\in SL(2,\mathbb{C})/{\mathbb{Z}}_2$，则称其为准初级场

$${\varphi }^{\prime }(w,\overline{w})={\left(\frac{\text{d}w}{\text{d}z}\right)}^{-h}{\left(\frac{\text{d}\overline{w}}{\text{d}\overline{z}}\right)}^{-\overline{h}}\varphi (z,\overline{z})$$

$$h=\frac{1}{2}(\mathrm{\Delta }+s)\overline{h}=\frac{1}{2}(\mathrm{\Delta }-s)$$

考虑初级场在无穷小共形变换 $w(z)=z+ϵ(z)$ 下的变化规律，直接计算可得

$${\delta }_{ϵ,\overline{ϵ}}\varphi (z,\overline{z})=-(h{\partial }_zϵ+ϵ{\partial }_z+\overline{h}{\partial }_{\overline{z}}\overline{ϵ}+\overline{ϵ}{\partial }_{\overline{z}})\varphi (z,\overline{z})$$

将具有共形维数 $(h,\overline{h})$ 的初级场在原点附近Laurent展开

$$\varphi (z,\overline{z})=\sum _{m,n\in \mathbb{Z}}{z}^{-m-h}{\overline{z}}^{-n-\overline{h}}{\varphi }_{m,n}$$

将 $\varphi (z,\overline{z})$ 视为算符，要求其在原点处非奇异，入射态可写为

$$|{\varphi }_{\text{in}}⟩=\underset{z,\overline{z}\to 0}{lim}\varphi (z,\overline{z})|0⟩={\varphi }_{-h,-\overline{h}}|0⟩$$

$${\varphi }_{m,n}|0⟩=0(m>-h\text{or}n>-\overline{h})$$

考虑 $\varphi (z,\overline{z})$ 的Hermitian共轭算符，由 $x^0=it$，取共轭，$(x^0,x^1)\mapsto (-x^0,x^1)$即 $z\mapsto 1/\overline{z}$，类比初级场的变化规律定义 ${\varphi }^{†}(z,\overline{z})$

$${\varphi }^{†}(z,\overline{z})={\overline{z}}^{-2h}{z}^{-2\overline{h}}\varphi (1/\overline{z},1/z)$$

同样对 ${\varphi }^{†}(z,\overline{z})$ Laurent展开

$${\varphi }^{†}(z,\overline{z})=\sum _{m,n\in \mathbb{Z}}{\overline{z}}^{m-h}{z}^{n-\overline{h}}{\varphi }_{m,n}$$

对比 $\varphi ,{\varphi }^{†}$ 展开式可知

$${\varphi }_{m,n}^{†}={\varphi }_{-m,-n}⟨{\varphi }_{\text{out}}|=⟨0|{\varphi }_{h,\overline{h}}={|{\varphi }_{\text{in}}⟩}^{†}$$

将入射态与出射态作内积

$$\begin{array}{rl}⟨{\varphi }_{\text{out}}|{\varphi }_{\text{in}}⟩& =\underset{z,\overline{z},w,\overline{w}\to 0}{lim}⟨0|{\varphi }^{†}(z,\overline{z})\varphi (w,\overline{w})|0⟩\\ & =\underset{z,\overline{z},w,\overline{w}\to 0}{lim}{\overline{z}}^{-2h}{z}^{-2\overline{h}}⟨0|\varphi (1/\overline{z},1/z)\varphi (w,\overline{w})|0⟩\\ & =\underset{\xi ,\overline{\xi }\to \mathrm{\infty }}{lim}{\overline{\xi }}^{2h}{\xi }^{2\overline{h}}⟨0|\varphi (\overline{\xi },\xi )\varphi (0,0)|0⟩\end{array}$$

算符乘积展开(OPE)

观察初级场变化规律，其中项可写为Chauchy积分形式

$$h{\partial }_wϵ(w)\varphi (w,\overline{w})=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{C(w)}\mathrm{d}zh\frac{ϵ(z)}{(z-w{)}^2}\varphi (w,\overline{w})$$

$$ϵ(w){\partial }_w\varphi (w,\overline{w})=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{C(w)}\mathrm{d}z\frac{ϵ(z)}{z-w}{\partial }_w\varphi (w,\overline{w})$$

考虑全纯初级场乘积 $X={\varphi }_1(w_1)\cdots {\varphi }_n(w_n)$ ，与共形Ward-Takahashi等式比较可得下式，其中reg.表示全纯部分

$$⟨T(z)X⟩=\sum _i(\frac{1}{z-w_i}{\partial }_{w_i}⟨X⟩+\frac{h_i}{(z-w_i{)}^2}⟨X⟩)+\text{reg.}$$

去掉 $⟨⟩$ 与全纯部分，即得 $T(z)X$ 的算符乘积展开(OPE)

$$T(z)X\sim \sum _i(\frac{1}{z-w_i}{\partial }_{w_i}X+\frac{h_i}{(z-w_i{)}^2}X)$$

若 $X$ 由单个初级场 $\varphi (w,\overline{w})$ 构成，则下式可作为初级场的另一种定义

$$T(z)\varphi (w,\overline{w})\sim \frac{h}{(z-w{)}^2}\varphi (w,\overline{w})+\frac{1}{z-w}{\partial }_w\varphi (w,\overline{w})$$

$$\bar{T}(\overline{z})\varphi (w,\overline{w})\sim \frac{\overline{h}}{(\overline{z}-\overline{w}{)}^2}\varphi (w,\overline{w})+\frac{1}{\overline{z}-\overline{w}}{\partial }_{\overline{w}}\varphi (w,\overline{w})$$

以下考虑两个全纯能动张量算符的OPE，先给出结果，再进行验证；共轭全纯算符的展开式类似，而 $T(z)\bar{T}(\overline{w})$ 仅含非奇异项

$$T(z)T(w)\sim \frac{c/2}{(z-w{)}^4}+\frac{2T(w)}{(z-w{)}^2}+\frac{{\partial }_{w}T(w)}{z-w}$$

$$T(z)\bar{T}(\overline{w})\sim 0$$

先将 $T(z)$ Laurent展开，计算守恒荷可知展开系数 $L_n$ 应为对应的 ${\text{Vir}}_c$ 中生成元

$$T(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{z}^{-n-2}{L}_n{L}_n=\frac{1}{2\pi i}\oint \mathrm{d}z{z}^{n+1}T(z)$$

$$Q_{ϵ}=\frac{1}{2\pi i}\oint \mathrm{d}zT(z)\sum _{n\in \mathbb{Z}}{ϵ}_n{z}^{n+1}=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{ϵ}_n{L}_n$$

只需验证 $TT$ OPE $L_n$ 满足Virasoro代数即可，以下计算说明上文OPE正确

$$\begin{array}{rl}[L_m,L_n]& =\oint \frac{\mathrm{d}z}{2\pi i}\oint \frac{\mathrm{d}w}{2\pi i}{z}^{m+1}{w}^{n+1}[T(z),T(w)]\\ & ={\oint }_{C(0)}\frac{\mathrm{d}w}{2\pi i}{w}^{n+1}{\oint }_{C(w)}\frac{\mathrm{d}z}{2\pi i}{z}^{m+1}\mathcal{R}(T(z)T(w))\\ & ={\oint }_{C(0)}\frac{\mathrm{d}w}{2\pi i}{w}^{n+1}{\oint }_{C(w)}\frac{\mathrm{d}z}{2\pi i}{z}^{m+1}(\frac{c/2}{(z-w{)}^4}+\frac{2T(w)}{(z-w{)}^2}+\frac{{\partial }_{w}T(w)}{z-w})\\ & ={\oint }_{C(0)}\frac{\mathrm{d}w}{2\pi i}{w}^{n+1}(\frac{c(m+1)m(m-1)}{12}{w}^{m-2}+2(m+1)w^{m}T(w)+w^{m+1}{\partial }_{w}T(w))\\ & =(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m){\delta }_{m+n,0}\end{array}$$

$TT$ OPE说明仅在中心荷为零时 $T(z)$ 为初级场，考虑 $T(z)$ 的无穷小共形变换形式

$${\delta }_{ϵ}T(z)=ϵ(z){\partial }_{z}T(z)+2{\partial }_zϵ(z)T(z)+\frac{c}{12}{\partial }_z^3ϵ(z)$$

在无穷小Mobius变换 $ϵ(z)=\alpha +\beta z+\gamma z^2$ 下，$T(z)$ 满足共形维数为 $(2,0)$ 的准初级场变换规律，因而可将 $T(z)$ 在共形变换 $z\mapsto w(z)$ 下的变换规律写为以下形式

$$T^{\prime }(w)={\left(\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\right)}^{-2}(T(z)-\frac{c}{12}\{w;z\})$$

其中 $\{w;z\}$ 称为Schwarzian导数，由共形变换结合律及 $T(z)$ 为准初级场及可知Schwarzian导数应满足以下性质

$$\{u;z\}={\left(\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\right)}^2\{u;w\}+\{w;z\}$$

$$\{w;z\}=0\text{for}w\in SL(2,\mathbb{C})/{\mathbb{Z}}_2$$

结合无穷小共形变换形式可得Schwarzian导数具体形式

$$\{w;z\}=\frac{{\text{d}}^{3}w/\text{d}{z}^3}{\text{d}w/\text{d}z}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{\text{d}}^{2}w/\text{d}{z}^2}{\text{d}w/\text{d}z}\right)}^2$$

实际上Schwarzian导数具有比第二条更强的性质

$$\{\mathrm{\Gamma }w;z\}=\{w;z\}\text{for}\mathrm{\Gamma }\in SL(2,\mathbb{C})/{\mathbb{Z}}_2$$

Verma Module

真空态 $|0⟩$ 应在全局共形变换下保持不变，因此 $L_{-1},L_0,L_1$ 及其共轭全纯为真空湮灭算符；此性质也可从 $T(z)|0⟩,\bar{T}(\overline{z})|0⟩$ 在原点处良定义得出，其同时隐含能动张量真空期望为零的条件

$$L_n|0⟩=0{\overline{L}}_n|0⟩=0\text{for}n\ge -1$$

$$⟨0|T(z)|0⟩=⟨0|\bar{T}(\overline{z})|0⟩=0$$

考虑初级场作用于真空得到的渐近态

$$\varphi (0,0)|0⟩=|h,\overline{h}⟩$$

由 ${\displaystyle [A,b(w)]=\oint \mathrm{d}za(z)b(w)}$ 与 $T\varphi$ OPE计算生成元与初级场的对易子

$$[L_n,\varphi (w,\overline{w})]=h(n+1)w^n\varphi (w,\overline{w})+w^{n+1}{\partial }_w\varphi (w,\overline{w})$$

$$[{\overline{L}}_n,\varphi (w,\overline{w})]=\overline{h}(n+1){\overline{w}}^n\varphi (w,\overline{w})+{\overline{w}}^{n+1}{\partial }_w\varphi (w,\overline{w})$$

将对易子作用于真空可得 $L_n,{\overline{L}}_n$ 对渐近态的作用，由 $H=L_0+{\overline{L}}_0$ 可知 $|h,\overline{h}⟩$ 为Hamiltonian本征态

$$L_0|h,\overline{h}⟩=h|h,\overline{h}⟩{\overline{L}}_0|h,\overline{h}⟩=\overline{h}|h,\overline{h}⟩$$

$$L_n|h,\overline{h}⟩=0{\overline{L}}_n|h,\overline{h}⟩=0\text{for}n>0$$

假设对易子中初级场全纯，将其Laurent展开，可得以下对易关系

$$[L_n,{\varphi }_m]=[n(h-1)-m]{\varphi }_{n+m}$$

其中 $[L_0,{\varphi }_m]=-m{\varphi }_m$ 说明 ${\varphi }_{-m}$ 为共形维数升 $m$ 算符；而由Virasoro代数可知，$L_{-m}m>0$ 也为共形维数的升 $m$ 算符，具备更高共形维数的激发态可由一系列升算符作用于 $|h⟩$ 得到

$$[L_0,L_{-m}]=m{L}_{-m}{L}_0{L}_{-m}|h⟩=(h+m)L_{-m}|h⟩$$

具有以下形式的激发态称为 $|h⟩$ 的$N$级降，升算符乱序作用于 $|h⟩$ 得到的激发态均可由 $|h⟩$ 降的线性组合得到

$$L_{-k_1}{L}_{-k_2}\cdots L_{-k_n}|h⟩1\le k_1\le \cdots \le k_n$$

$$k_1+k_2+\cdots +k_n=N$$

$|h⟩$ 及其降在Virasoro代数下构成Hilbert空间的子空间，称为Verma Module