Boson
将周长为 $L$ 的无穷长柱面上的Bose场 $\varphi(x,t)=\varphi(x+L,t)$ 展开
$$\varphi(x,t)=\sum_{n}e^{2\pi i n x/L}\varphi_n(t)\qquad \varphi_n(t)=\frac{1}{L}\int \dd x\;e^{-2\pi i n x/L}\varphi(x,t)$$
计算Lagrangian与Hamiltonian
$$\begin{aligned}L&=\frac{g}{2}\int\dd x\;[(\partial_t\varphi)^2-(\partial_x\varphi)^2]\\&=\frac{gL}{2}\sum_n\left[\dot\varphi_n\dot\varphi_{-n}-\left(\frac{2\pi n}{L}\right)^2\varphi_n\varphi_{-n}\right]\end{aligned}$$
$$\pi_n=gL\dot\varphi_{-n}\qquad[\varphi_n,\pi_m]=i\delta_{nm}$$
$$H=\frac{1}{2gL}\sum_n\left[\pi_n\pi_{-n}+(2\pi n g)^2\varphi_n\varphi_{-n}\right]$$
此Hamiltonian表示一系列频率为 $\omega_n=2\pi|n|/L$ 的解耦谐振子之和，其中零频成分是缺少质量项的结果，选取边界条件之后其等价于共性不变性
由 $\varphi_n^\dagger=\varphi_{-n},\pi_n^\dagger=\pi_{-n}$，产生湮灭算符的通常定义方式如下
$$\tilde{a}_n=\frac{1}{\sqrt{4\pi g}}(2\pi g|n|\varphi_n+i\pi_{-n})$$
$$[\tilde{a}_n,\tilde{a}_m]=0\qquad [\tilde{a}_n,\tilde{a}_m^\dagger]=\delta_{mn}$$
然而以上对易关系不适用于零模 $\varphi_0$，因此定义以下算符，并单独处理 $\varphi_0$
$$a_n=\left\lbrace\begin{aligned} &-i\sqrt{n}\tilde{a}_n&(n>0)\\ & i\sqrt{-n}\tilde{a}_{-n}^\dagger &(n<0)\end{aligned}\right.\qquad \bar a_n=\left\lbrace\begin{aligned} &-i\sqrt{n}\tilde{a}_{-n}&(n>0)\\ & i\sqrt{-n}\tilde{a}_{n}^\dagger &(n<0)\end{aligned}\right.$$
$$[a_m,a_n]=m\delta_{m+n}\qquad [a_m,\bar a_n]=0\qquad[\bar a_m,\bar a_n]=m\delta_{m+n}$$
忽略常数，现在Hamiltonian可写为以下形式，可知 $a_{-m}\;(m>0)$ 将 $H$ 能量为 $E$ 的本征态变为能量为 $E+2m\pi/L$ 的本征态
$$H=\frac{1}{2gL}\pi_0^2+\frac{2\pi}{L}\sum_{n>0}(a_{-n}a_n+\bar a_{-n}\bar a_n)$$
$$[H,a_{-m}]=\frac{2\pi}{L}m a_{-m}$$
用 $a_n,\bar a_n$ 表示 $\varphi$
$$\varphi_n=\frac{i}{n\sqrt{4\pi g}}(a_n-\bar a_{-n})$$
$$\varphi(x)=\varphi_0+\frac{i}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{n\neq 0}\frac{1}{n}(a_n-\bar a_{-n})e^{2\pi i n x L}$$
由Hamiltonian可得Heisenberg绘景下算符的时间演化
$$\varphi_0(t)=\varphi_0(0)+\frac{1}{gL}\pi_0 t\qquad\begin{matrix} a_n(t)=a_n(0)e^{-2\pi i n t/L}\\ \bar a_n(t)=\bar a_n(0)e^{-2\pi i n t/L}\end{matrix}$$
$$\varphi(x,t)=\varphi_0+\frac{1}{gL}\pi_0 t+\frac{i}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{n\neq 0}\frac{1}{n}(a_n e^{2\pi i n (x-t) L}-\bar a_{-n}e^{2\pi i n (x+t) L})$$
作代换 $t=-i\tau$，引入复变量，变换到Euclidian时空
$$z=e^{2\pi (\tau-ix)/L}\qquad\bar z=e^{2\pi (\tau+i x)/L}$$
$$\varphi(z,\bar z)=\varphi_0-\frac{i}{4\pi g}\pi_0\ln(z\bar z)+\frac{i}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{n\neq 0}\frac{1}{n}(a_n z^{-n}+\bar a_n\bar z^{-n})$$
$\varphi(z,\bar z)$ 中全纯与反全纯成分完全解耦，考虑全纯场 $\partial\varphi(z)$
$$i\partial\varphi(z)=\frac{1}{4\pi g}\frac{\pi_0}{z}+\frac{1}{\sqrt{2\pi g}}\sum_{n\neq 0}a_n z^{-n-1}$$
以上形式映证了 $\partial\varphi$ 确实为初级场，可定义对应零频算符 $a_0,\bar a_0$
$$a_0\equiv\bar a_0\equiv\frac{\pi_0}{\sqrt{4\pi g}}$$
$$i\partial\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{4\pi g}}\sum_n a_n z^{-n-1}$$
$\varphi$ 场的周期条件为全纯与反全纯激发解耦的来源，$a_n,\bar a_n$ 分别产生湮灭传播方向相反的激发；在弦论应用中，这些边界条件描述一条闭弦，零模 $\varphi_0$ 为弦的质心，$\pi_0$ 为弦的总动量
顶点算符
由于boson $\varphi$ 缩放维数为零，可不通过缩放引入一系列与 $\varphi$ 相联系的局部场，称为顶点算符
$$\mathcal{V}_\alpha(z,\bar z)=\;:e^{i\alpha\varphi(z,\bar z)}:$$
正规序意味着其展开形式如下，其中每个中括号内算符均对易
$$\begin{aligned}\mathcal{V}_\alpha(z,\bar z)&=\exp\left[i\alpha\varphi_0+\frac{\alpha}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{n>0}\frac{1}{n}(a_{-n}z^n+\bar a_{-n}\bar z^n)\right]\\&\times\exp\left[\frac{\alpha}{4\pi g}\pi_0-\frac{\alpha}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{n>0}\frac{1}{n}(a_{n}z^{-n}+\bar a_{n}\bar z^{-n})\right]\end{aligned}$$
为了解 $\mathcal{V}_\alpha$ 性质，首先计算 $\partial\varphi\mathcal{V}_\alpha$ OPE及 $T\mathcal{V}_\alpha$ OPE
$$\begin{aligned}\partial\varphi(z)\mathcal{V}_\alpha(w,\bar w)&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\alpha)^n}{n!}\partial\varphi(z):\varphi(w,\bar w)^n:\\&\sim-\frac{1}{4\pi g}\frac{1}{z-w}\sum_{n=1}^\infty\frac{(i\alpha)^n}{(n-1)!}:\varphi(w,\bar w)^{n-1}:\\&\sim-\frac{i\alpha}{4\pi g}\frac{\mathcal{V}_\alpha(w,\bar w)}{z-w}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}T(z)\mathcal{V}_\alpha(w,\bar w)&=-2\pi g\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\alpha)^n}{n!}:\partial\varphi(z)\partial\varphi(z)::\varphi(w,\bar w)^n:\\&\sim-\frac{1}{8\pi g}\frac{1}{(z-w)^2}\sum_{n=2}^\infty\frac{(i\alpha)^n}{(n-2)!}:\varphi(w,\bar w)^{n-2}:\\&+\frac{1}{z-w}\sum_{n=1}^\infty\frac{(i\alpha)^n}{n!}n:\partial\varphi(z)\varphi(w,\bar w)^{n-1}:\\&\sim\frac{\alpha^2}{8\pi g}\frac{\mathcal{V}_\alpha(w,\bar w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial_w\mathcal{V}_\alpha(w,\bar w)}{z-w}\end{aligned}$$
$T\mathcal{V}_\alpha$ OPE形式说明 $\mathcal{V}_\alpha(z,\bar z)$ 为初级场，其共形维数为
$$h(\alpha)=\bar h(\alpha)=\frac{\alpha^2}{8\pi g}$$
为计算 $\mathcal{V}_\alpha\mathcal{V}_\beta$ OPE，引入谐振子相干态 $\ket{z}$，其为湮灭算符的本征态
$$\ket{z}=e^{z a^\dagger}\ket{0}$$
$$a\ket{z}=z\ket{z}\qquad f(a)\ket{z}=f(z)\ket{z}$$
由Hausdorff关系
$$e^{-A}B e^A=B+[B,A]+\frac{1}{2}[[B,A],A]+\cdots$$
取 $A=za^\dagger,B=w a$ 可得
$$[a,e^{za^\dagger}]=z e^{za^\dagger}$$
由于 $[B,A]=[ w a,z a^\dagger]=wz$ 为常数，故以下关系也成立
$$e^{B}e^A=e^Ae^B e^{[B,A]}$$
$$e^{wa}e^{z a^\dagger}=e^{z a^\dagger} e^{wa}e^{wz}$$
对顶点算符组成的弦 $:e^{A_1}::e^{A_2}:\cdots:e^{A_n}:\; (A_i=\alpha_i a+\beta_i a^\dagger)$，由以上关系可将产生算符全部移至左侧
$$:e^{A_1}::e^{A_2}:\cdots:e^{A_n}:\;\;=e^{(\beta_1+\cdots+\beta_n)a^\dagger}e^{(\alpha_1+\cdots+\alpha_n)a}\exp{\sum_{i<j}^n\alpha_i\beta_j}$$
由于 $\ev{A_i A_j}=\alpha_i\beta_j$，此式也可写为
$$:e^{A_1}::e^{A_2}:\cdots:e^{A_n}:\;\;=\;\;:e^{A_1+\cdots+A_n}:\exp{\sum_{i<j}^n\ev{A_i A_j}}$$
由此可得 $\mathcal{V}_\alpha\mathcal{V}_\beta$ OPE
$$\mathcal{V}_\alpha(z,\bar z)\mathcal{V}_\beta(w,\bar w)\sim |z-w|^{2\alpha\beta/4\pi g}\mathcal{V}_{\alpha+\beta}(w,\bar w)+\cdots$$
然而关联函数应在全局共形群下保持不变，要求关联函数中场的共形维数相同；另外关联函数随距离增大应趋近于零，要求 $\alpha\beta<0$，故唯一非零的OPE为 $\alpha=-\beta$，取 $g=1/4\pi$ 可得
$$\mathcal{V}_\alpha(z,\bar z)\mathcal{V}_{-\alpha}(w,\bar w)\sim |z-w|^{-2\alpha^2}+\cdots$$
一般地，顶点算符 $\mathcal{V}_{\alpha_i}$ 组成的弦的关联函数只有在电荷之和 $\sum_i\alpha_i=0$ 时非零
Fock空间
上文Hamiltonian与 $\varphi_0$ 无关意味着 $\pi_0$ 与 $H$ 对易，$\pi_0$ 的特征值为守恒量，即好量子数，因此可用来标记 $H$ 的不同本征态组，Fock空间构建在一单参真空族 $\ket{\alpha}$ 之上，其中 $\alpha$ 为 $a_0=\pi_0/\sqrt{4\pi g}$ 真空态本征值，$a_n,\bar a_n$ 在 $n>0$ 时为湮灭算符，$n<0$ 时为产生算符
$$a_n\ket{\alpha}=\bar a_n\ket{\alpha=0}\quad(n>0)$$
$$a_0\ket{\alpha}=\bar a_0\ket{\alpha}=\alpha\ket{\alpha}$$
将全纯能动张量写为产生湮灭算符形式
$$T(z)=-2\pi g:\partial\varphi\partial\varphi:=\frac{1}{2}\sum_{m,n\in\mathbb{Z}}z^{-m-n-2}:a_n a_m:$$
与能动张量的共形变换生成元展开式 $\displaystyle T(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}z^{-n-2}L_n$ 比较可得
$$L_n=\frac{1}{2}\sum_{m\in\mathbb{Z}}:a_{n-m}a_m:$$
$$L_0=\sum_{n>0}a_{-n}a_n+\frac{1}{2}a_0^2$$
由此Hamiltonian可写为以下形式，与 $L_0+\bar L_0$ 为时间平移生成元一致
$$H=\frac{2\pi}{L}(L_0+\bar L_0)$$
由 $[L_0,a_{-m}]=m a_{-m}$ 可知 $a_m$ 与 $L_m$ 对共形维数的作用相同；而 $L_0$ 的形式说明真空 $\ket{\alpha}$ 的共形维数为 $\alpha^2/2$
Fock空间的态可由产生算符作用于真空得到，其均为 $L_0$ 本征态
$$a_{-1}^{n_1}a_{-1}^{n_1}\cdots\bar a_{-1}^{m_1}\bar a_{-1}^{m_1}\cdots\ket{\alpha}\qquad(n_i,m_j\ge 0)$$
$$h=\frac{1}{2}\alpha^2+\sum_{i}i n_i\qquad\bar h=\frac{1}{2}\alpha^2+\sum_{j}jm_j$$
以下证明真空 $\ket{\alpha}$ 可由顶点算符 $\mathcal{V}_\alpha(z,\bar z)=\;\;:e^{i\alpha\varphi(z,\bar z)}:$ 作用于绝对真空 $\ket{0}$ 得到
$$\ket{\alpha}=\mathcal{V}_\alpha(0)\ket{0}$$
由 $[B,A]$ 为常数时的 Hausdorff公式
$$[B,e^A]=e^A[B,A]$$
取 $g=1/4\pi$，$A=i\alpha \varphi(z,\bar z)$，再分别取 $B=\pi_0,a_n$可得
$$[\pi_0,\mathcal{V}_\alpha]=\alpha\mathcal{V}_\alpha\qquad\pi_0\mathcal{V}_\alpha(0)\ket{0}=\alpha\mathcal{V}_\alpha(0)\ket{0}$$
$$[a_n,\mathcal{V}_\alpha]=-\alpha z^n\mathcal{V}_\alpha\qquad a_n\mathcal{V}_\alpha(0)\ket{0}=0\quad(n>0)$$
可见 $\mathcal{V}_\alpha(0)\ket{0}$ 即为真空 $\ket{\alpha}$，$\mathcal{V}_\alpha$ 相当于动量平移算符
扭转边界
反周期边界条件 $\varphi(x+L,t)=-\varphi(x,t)$ 同样与Boson Lagrangian适配，此时 $\varphi$ 在柱面上成为双值函数，将其映射到平面可定义双页Riemann面上的理论
反周期边界条件下 $\varphi$ 零模消失，且求和指标变为半整数，但并不影响算符对易关系
$$\varphi(z,\bar z)=\frac{i}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{n\in\mathbb{Z}+1/2}\frac{1}{n}(a_n z^{-n}+\bar a_n\bar z^{-n})$$
$$[a_m,a_n]=m\delta_{m+n}$$
定义算符 $G$，其与 $\varphi$ 和所有产生湮灭算符 $a_n$ 反对易，与 $H$ 对易
$$G\varphi G^{-1}=-\varphi$$
易知 $G$ 特征值为 $\pm 1$，并且 $\ket{\psi}$，$G\ket{\psi}$ 为简并态，事实上此系统的基态为双重简并，需要区分对应于 $G$ 本征值 $\pm 1$ 的两个真空 $\ket{0_+}$，$\ket{0_-}$
取 $g=1/4\pi$，统一考虑两种边界条件，并验证由路径积分方法得到的周期边界条件两点关联函数 $\ev{\partial\varphi(z)\partial\varphi(w)}=-\displaystyle\frac{1}{(z-w)^2}$ 可由算符方法得到
计算以下关联函数 $(|z|>|w|)$，由 $\ev{a_n a_m}=n\delta_{n+m}\;\;(n>0)$，其余情况为零有
$$\begin{aligned}\ev{\varphi(z)\partial\varphi(w)}&=\sum_{m,n\neq 0}\frac{1}{n}\ev{a_n a_m}z^{-n} w^{-m-1}\\&=\frac{1}{w}\sum_{n>0}\left(\frac{w}{z}\right)^n\end{aligned}$$
对于周期边界条件，$n$ 取正整数，重新获得路径积分方法的两点关联函数
$$\ev{\varphi(z)\partial\varphi(w)}=\frac{1}{w}\frac{w/z}{1-w/z}=\frac{1}{z-w}$$
$$\ev{\partial\varphi(z)\partial\varphi(w)}=-\frac{1}{(z-w)^2}$$
对于反周期边界条件，$n$ 取半整数，关联函数具有支点 $0,\infty$
$$\ev{\varphi(z)\partial\varphi(w)}=\frac{1}{w}\sqrt{\frac{w}{z}}\frac{1}{1-w/z}=\sqrt{\frac{z}{w}}\frac{1}{z-w}$$
$$\ev{\partial\varphi(z)\partial\varphi(w)}=-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{z/w}+\sqrt{w/z}}{(z-w)^2}$$
在 $z\to w$ 极限下，两种边界条件的关联函数趋同，即理论的短程行为与边界条件无关
接着计算能动张量真空期望
$$\ev{T(z)}=-\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon\to 0}\left(\ev{\partial\varphi(z+\varepsilon)\partial\varphi(z)}+\frac{1}{\varepsilon^2}\right)$$
$$\ev{T(z)}=\left\lbrace\begin{array}{c}0&\text{周期}\\ \displaystyle\frac{1}{16 z^2}&\text{反周期}\end{array}\right.$$
由 $\displaystyle T_\text{cyl.}(w)=\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2\left[T_\text{pl.}(z)-\frac{c}{24}\right]$ 可计算柱面能动张量真空期望
$$\ev{T_\text{cyl.}}=\left\lbrace\begin{array}{c}\displaystyle-\frac{1}{24}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2&\text{周期}\\ \displaystyle\frac{1}{48}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2&\text{反周期}\end{array}\right.$$
由真空能期望可修正Hamiltonian中忽略的常数
$$H=\frac{2\pi}{L}[(L_0)_\text{cyl.}+(\bar L_0)_\text{cyl.}]$$
$$(L_0)_\text{cyl.}=\left\lbrace\begin{array}{c}\displaystyle\sum_{n>0}a_{-n}a_n-\frac{1}{24}&\text{周期}\\ \displaystyle\sum_{n>0}a_{-n}a_n+\frac{1}{48}&\text{反周期}\end{array}\right.$$
紧化Boson
由于Boson Lagrangian在平移 $\varphi\to\varphi+\text{const}$ 下不变，意味着可以将 $\varphi$ 值域局限在圆上，即将 $\varphi$ 与 $\varphi+2\pi R$ 等同，这赋予了 $\varphi$ 角变量的特征
$\varphi$ 的紧化首先带来的结果是质心动量 $\pi_0$ 即 $\alpha$ 取值只能为 $1/R$ 的整数倍，否则不能良定义顶点算符 $\mathcal{V}_\alpha=\;\;:e^{i\alpha\varphi}:\;\;$；其次边界条件可取以下更为一般的形式，$m$ 称为场的缠绕数
$$\varphi(x+L,t)=\varphi(x,t)+2\pi m R$$
这两个结果使得 $\varphi$ 展开式成为
$$\varphi(x,t)=\varphi_0+\frac{n}{gRL}t+\frac{2\pi Rm}{L}x+\frac{i}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{k\neq 0}\frac{1}{k}\left(a_k e^{2\pi i k(x-t)/L}-\bar a_{-k}e^{2\pi i k(x+t)/L}\right)$$
$$\begin{aligned}\varphi(z,\bar z)=\varphi_0&-i\left(\frac{n}{4\pi g R}+\frac{1}{2}mR\right)\ln{z}+\frac{i}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{k\neq 0}\frac{1}{k}a_k z^{-k}\\&-i\left(\frac{n}{4\pi g R}-\frac{1}{2}mR\right)\ln{\bar z}+\frac{i}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{k\neq 0}\frac{1}{k}\bar a_k \bar z^{-k}\end{aligned}$$
$$i\partial\varphi(z)=\left(\frac{n}{4\pi g R}+\frac{1}{2}mR\right)\frac{1}{z}+\frac{1}{\sqrt{4\pi g}}\sum_{k\neq 0} a_k z^{-k-1}$$
生成元可写为
$$L_0=\sum_{n>0}a_{-n}a_n+2\pi g\left(\frac{n}{4\pi g R}+\frac{1}{2}mR\right)^2$$
$$\bar L_0=\sum_{n>0}\bar a_{-n}\bar a_n+2\pi g\left(\frac{n}{4\pi g R}-\frac{1}{2}mR\right)^2$$
缠绕数 $m$ 可视为原点处的漩涡，这与经典 $XY$ 自旋模型相似；可由此定义产生旋量 $m$ 和动量 $n$ 的算符，将在之后讨论；现在只需将真空，即最高权态标记为 $\ket{n,m}$，其具有共形权 $h_{n,m}$，并且由算符 $a_{n>0}$ 湮灭
$$h_{n,m}=2\pi g\left(\frac{n}{4\pi g R}+\frac{1}{2}mR\right)^2$$
Fermion
自由 Majorana Fermion作用量
$$S=\frac{1}{2}g\int\text{d}^2 x\;\Psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\partial_\mu\psi$$
取 $g=1/2\pi$，得到 $\psi\psi$ OPE和能动张量表达式，$\psi$ 中心荷 $c=1/2$，共形维数 $h=1/2$
$$\psi(z)\psi(w)\sim \frac{1}{z-w}\qquad T(z)=-\frac{1}{2}:\psi(z)\partial\psi(z):$$
将 $\psi$ 在周长为 $L$ 的柱面上展开
$$\psi(x)=\sqrt{\frac{2\pi}{L}}\sum_{k}b_k e^{2\pi i kx}/L$$
$$\{b_k,b_q\}=\delta_{k+q,0}$$
对周期边界条件(R)，$k$ 取整数；反周期边界条件(NS)，$k$ 取半整数
$$\psi(x+L)\equiv\psi(x)\qquad\text{Ramond(R)}$$
$$\psi(x+L)\equiv-\psi(x)\qquad\text{Neveu-Schwarz(NS)}$$
计算Hamiltonian得
$$H=2\left(\sum_{k>0}\omega_k b_{-k}b_k+E_0\right)\qquad\omega_k=\frac{2\pi |k|}{L}$$
Heisenberg绘景下算符时间演化如下，其中 $w=\tau-ix$，$\tau=it$ 为Euclidian时间
$$b_k(t)=b_k(0)e^{-2\pi ikt/L}$$
$$\psi(x,t)=\sqrt{\frac{2\pi}{L}}\sum_k k_k e^{-2\pi k w L}$$
将场映射到复平面，$z=e^{2\pi w/L}$，可知 $\psi$ 在周期边界(R)下为双值函数，与Boson相反
$$\psi_\text{pl.}(z)=\left(\frac{\dd w}{\dd z}\right)^{1/2}\psi_\text{cyl.}(w)=\sum_{k}b_k z^{-k-1/2}$$
计算以下关联函数，在NS边界条件下
$$\begin{aligned}\ev{\psi(z)\psi(w)}&=\sum_{k,q\in\mathbb{Z}+1/2}z^{-k-1/2}w^{-q-1/2}\ev{b_k b_q}\\&=\sum_{k\in\mathbb{Z}+1/2,k>0}z^{-k-1/2}w^{k-1/2}\\&=\frac{1}{z-w}\end{aligned}$$
在R边界条件下
$$\begin{aligned}\ev{\psi(z)\psi(w)}&=\sum_{k,q\in\mathbb{Z}}z^{-k-1/2}w^{-q-1/2}\ev{b_k b_q}\\&=\frac{1}{2\sqrt{zw}}+\sum_{k=1}^\infty z^{-k-1/2}w^{k-1/2}\\&=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{z/w}+\sqrt{w/z}}{z-w}\end{aligned}$$
计算能动张量真空期望
$$\ev{T(z)}=-\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon\to 0}\left(\ev{\partial\varphi(z+\varepsilon)\partial\varphi(z)}-\frac{1}{\varepsilon^2}\right)$$
$$\ev{T(z)}=\left\lbrace\begin{array}{c}0&\text{NS sector}\\ \displaystyle\frac{1}{16 z^2}&\text{R sector}\end{array}\right.$$
将能动张量用产生湮灭算符展开，可得生成元的算符表示
$$\begin{aligned}T_\text{pl.}(z)&=\frac{1}{2}\sum_{k,q}(k+1/2)z^{-q-1/2}z^{-o-3/2}:b_q b_k:\\&=\frac{1}{2}\sum_{k,q}(k+1/2)z^{-n-2}:b_{n-k}b_k:\end{aligned}$$
$$L_n=\frac{1}{2}\sum_{k}(k+1/2):b_{n-k}b_k:$$
对于 $L_0$，由真空能量密度可得
$$L_0=\sum_{k>0}k{b_{-k}b_k}\qquad(\text{NS}:k\in\mathbb{Z}+1/2)$$
$$L_0=\sum_{k>0}k{b_{-k}b_k}+1/16\qquad(\text{R}:k\in\mathbb{Z})$$
将真空能量密度变换到柱面有
$$\ev{T_\text{cyl.}}=\left\lbrace\begin{array}{c}-\displaystyle\frac{1}{48}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2&\text{NS sector}\\ \displaystyle\frac{1}{24}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2&\text{R sector}\end{array}\right.$$
柱面Hamiltonian可统一写为以下形式，以确保其真空期望与能动张量相符
$$H=\frac{2\pi}{L}\left(L_0+\bar L_0-\frac{c}{12}\right)$$