环面配分函数

具有双周期 $(\omega_1,\omega_2)$ 的函数沿 $\omega_2=x+it$ 方向平移长度 $a$ 算符

$$\exp-\frac{a}{|\omega_2|}(H\;\Im\;\omega_2-iP\;\Re\;\omega_2)$$

取 $a=|\omega_2|$ 可得原点配分函数

$$Z(\omega_1,\omega_2)=\Tr{\exp(-H\;\Im\;\omega_2+iP\;\Re\;\omega_2)}$$

取 $\omega_1=L$，由周长为 $L$ 的柱面能量与动量算符表达式

$$H=\frac{2\pi}{L}(L_0+\bar L_0-c/12)\qquad P=\frac{2\pi i}{L}(L_0-\bar L_0)$$

可将配分函数用周期比 $\tau=\omega_2/\omega_1$ 及生成元 $L_0,\bar L_0$ 写出

$$Z(\tau)=\Tr\left(q^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-c/24}\right)\qquad q=\exp(2\pi i \tau)$$

环面Boson

由一般Virasoro示性数

$$\chi_{(c,h)}(\tau)=\Tr(q^{L_0-c/24})=\frac{q^{h+(1-c)/24}}{\eta(\tau)}$$

推测环面Boson配分函数具有以下形式

$$Z_\text{bos}\propto\frac{1}{|\eta(\tau)|^2}$$

进一步，配分函数应在模群生成元下保持不变，由

$$\eta(\tau)=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty(1-q^n)$$

$$\eta(\tau+1)=e^{i\pi/12}\eta(\tau)\qquad \eta(-1/\tau)=\sqrt{-i\tau}\;\eta(\tau)$$

可知以下配分函数满足模不变性

$$Z_\text{bos}=\frac{1}{\sqrt{\Im\;\tau}\;|\eta(\tau)|^2}$$