$\text{U}(1)$ 规范

考虑手性超场 $\Phi_l$ 的 $\text{U}(1)$ 规范变换，其中 $t_l$ 为对应 $\text{U}(1)$ 荷，$\lambda$ 为旋转角，二者均为实常数，由于常数为手性超场，故 $\Phi_l’$ 也为手性超场

$$\Phi_l’=e^{-it_l\lambda}\Phi_l$$

对于常数 $\lambda$，容易构造以下规范不变Lagrangian，其中 $\mathscr{L}_{P.E.}$ 通常称为超势；对于非零 $m_{ij}$ 或 $g_{ijk}$，$\text{U}(1)$ 规范不变性要求 $t_i+t_j= 0$ 或 $t_i+t_j+t_k=0$

$$\mathscr{L}=\mathscr{L}_{K.E.}+\mathscr{L}_{P.E.}$$

$$\mathscr{L}_{K.E.}=\Phi_l^\dagger\Phi_l|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}$$

$$\mathscr{L}_{P.E.}=\left.\left[\frac{1}{2}m_{ij}\Phi_i\Phi_j+\frac{1}{3}g_{ijk}\Phi_i\Phi_j\Phi_k\right]\right|_{\theta\theta}+\text{h.c.}$$

若 $\lambda$ 依赖于 $x$，则其应成为手性多重态 $\Lambda$ 才能保持 $\Phi_l’$ 仍为手性超场

$$\Phi_l’=e^{-it_l\Lambda}\Phi_l\qquad \bar D_{\dot\alpha}\Lambda=0$$

$$\Phi_l’^\dagger=e^{it_l\Lambda^\dagger}\Phi_l^\dagger\qquad D_{\alpha}\Lambda^\dagger=0$$

此时上式Lagrangian动能项不再满足规范不变

$$\Phi_l’^\dagger\Phi_l’=\Phi_l^\dagger\Phi_l e^{it_l(\Lambda^\dagger-\Lambda)}$$

引进满足如下变换规律的矢量超场，可写出加上 $W_\alpha,\bar W_{\dot\alpha}$ 项的完整 $\text{U}(1)$ 规范不变Lagrangian

$$V’=V+i(\Lambda-\Lambda^\dagger)$$

$$\begin{aligned}\mathscr{L}&=\frac{1}{4}(W^\alpha W_\alpha|_{\theta\theta}+\bar W_\dot{\alpha}\bar W^\dot{\alpha}|_{\bar\theta\bar\theta})+\Phi_l^\dagger e^{t_l V}\Phi_l|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}\\&+\left[\left.\left(\frac{1}{2}m_{ij}\Phi_i\Phi_j+\frac{1}{3}g_{ijk}\Phi_i\Phi_j\Phi_k\right)\right|_{\theta\theta}+\text{h.c.}\right]\end{aligned}$$

此Lagrangian中项 $\Phi^\dagger e^{tV}\Phi|_{\theta\theta}$ 看起来不可重整化，但在WZ规范下 $V^3=0$，计算可知此规范下其不含质量维数高于 $4$ 的项

$$\begin{aligned}\Phi_l^\dagger e^{t_l V}\Phi_l|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}&=FF^*+A\Box A^*+i\partial_n\bar\psi\bar\sigma^n\psi\\&+tv^n\left(\frac{1}{2}\bar\psi\bar\sigma^n\psi+\frac{i}{2}A^*\partial_n A-\frac{i}{2}\partial_n A^* A\right)\\&-\frac{i}{\sqrt{2}}t(A\bar\lambda\bar\psi-A^*\lambda\psi)+\frac{1}{2}\left(tD-\frac{1}{2}t^2 v_n v^n\right)A^* A\end{aligned}$$

电动力学的超对称拓展可以通过以下两个手性超场构造

$$\Phi_+^\prime=e^{-ie\Lambda}\Phi_+\qquad\Phi_-^\prime=e^{ie\Lambda}\Phi_-$$

$$\begin{aligned}\mathscr{L}_{QED}&=\frac{1}{4}(WW|_{\theta\theta}+\bar W\bar W|_{\bar\theta\bar\theta})+\Phi_+^\dagger e^{eV}\Phi_+|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}+\Phi_-^\dagger e^{-eV}\Phi_-|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}\\&+m(\Phi_+\Phi_-|_{\theta\theta}+\Phi_+^\dagger\Phi_-^\dagger|_{\bar\theta\bar\theta})\end{aligned}$$

由 $\mathscr{L}_{QED}$ 分量形式可知两个Weyl旋量 $\psi_+,\psi_-$ 合成一个有质量Dirac旋量，即电子

$$\begin{aligned}\mathscr{L}_{QED}&=\frac{1}{2}D^2-\frac{1}{4}v_{mn}v^{mn}-i\lambda\sigma^n\partial_n\bar\lambda\\&+ F_+F_+^*+F_-F_-^*+A_+^*\Box A_++A_-^*\Box A_-\\&+i(\partial_n\bar\psi_+\bar\sigma^n\psi_++\partial_n\bar\psi_-\bar\sigma^n\psi_-)+ev^n\left[\frac{1}{2}\bar\psi_+\bar\sigma^n\psi_+-\frac{1}{2}\bar\psi_-\bar\sigma^n\psi_-\right.\\ &+\left.\frac{i}{2}A_+^*\partial_n A_+-\frac{i}{2}\partial_n A_+^* A_+-\frac{i}{2}A_-^*\partial_n A_-+\frac{i}{2}\partial_n A_-^* A_-\right]\\&-\frac{ie}{\sqrt{2}}(A_+\bar\psi_+\bar\lambda-A^*_+\psi_+\lambda_+-A_-\bar\psi_-\bar\lambda+A_-^*\psi_-\lambda)\\&\frac{e}{2}D(A_+^* A_+-A_-^* A_-)-\frac{1}{4}e^2 v_n v^n(A_+^* A_++A_-^* A_-)\\&+m[A_+F_-+A_-F_+-\psi_+\psi_- -\bar\psi_+\bar\psi_-+A_+^* F_-^*+A_-^* F_+^*]\end{aligned}$$

非Abelian规范

将超场规范变换推广到非Abelian情况

$$\Phi’=e^{i\Lambda}\Phi\qquad \Phi’^\dagger=\Phi^\dagger e^{i\Lambda^\dagger}$$

$$e^{V’}=e^{-i\Lambda^\dagger}e^V e^{i\Lambda}$$

式中 $\Lambda,V$ 均为矩阵，$T^a$ 为规范群的hermitian生成元

$$\Lambda_{ij}=T^a_{ij}\Lambda_a\qquad V_{ij}=T_{ij}^a V_a$$

将生成元作如下归一化，注意结构常数为反对称张量

$$\Tr\; T^a T^b=k\delta^{ab}$$

$$[T^a,T^b]=i t^{abc} T^c$$

由Hausdorff公式可计算 $V’=V+i(\Lambda-\Lambda^\dagger)+\cdots$，记Lie导数 $L_A B=[A,B]$

$$e^A e^B=e^{A+L_{A/2}\cdot[B+\coth(L_{A/2})\cdot B]+\cdots}$$

$$(L_A)^n\cdot B=[A,[A,[\cdots,[A,B]\cdots]]]$$

$$\delta V=V’-V=i L_{V/2}\cdot[(\Lambda+\Lambda^\dagger)+\coth(L_{V/2})\cdot(\Lambda-\Lambda^\dagger)]$$

同样对超对称场强 $W^\alpha$ 作非Abelian推广，可得其变换规律

$$W_\alpha=-\frac{1}{4}\bar D\bar D e^{-V} D_\alpha e^V$$

$$W_\alpha’=e^{-i\Lambda}W_\alpha e^{i\Lambda}$$

现在包含可重整化标量、旋量和矢量场相互作用的最普遍形式的Lagrangian可写为

$$\begin{aligned}\mathscr{L}&=\frac{1}{16k g^2}\Tr\left(W^\alpha W_\alpha|_{\theta\theta}+\bar W_\dot{\alpha}\bar W^\dot{\alpha}|_{\bar\theta\bar\theta}\right)+\Phi^\dagger e^{V}\Phi|_{\theta\theta\bar\theta\bar\theta}\\&+\left[\left.\left(\frac{1}{2}m_{ij}\Phi_i\Phi_j+\frac{1}{3}g_{ijk}\Phi_i\Phi_j\Phi_k\right)\right|_{\theta\theta}+\text{h.c.}\right]\end{aligned}$$

还原耦合常数 $V\to 2g V$ 后，规范场动能项的归一化应与分量场的正则归一化相一致