代数结构

配备对易子 $[,]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 且满足Jacobi等式的矢量空间 $\mathfrak{g}$ 称为Lie代数

$$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0\qquad\text{for}\;X,Y,Z\in\mathfrak{g}$$

Lie代数 $\mathfrak{g}$ 的指数映射 $\mathfrak{g}\to G:X\mapsto e^{ia X}$ 构成对应Lie群 $G$ 包含单位元的连通部分，$\mathfrak{g}$ 描述 $G$ 中单位元的邻域

Lie代数的表示指对 $\mathfrak{g}$ 中每个元素均有与之对应的可反映 $\mathfrak{g}$ 对易关系的矢量空间 $V$ 中的线性算符，张成 $V$ 的极大线性无关态的数目称为表示的维数

对给定的基，$\mathfrak{g}$ 中每个元素均可由方阵和列矢量基表示，若方阵无法通过改变基化为对角阵，则称此表示为不可约表示

Lie代数具体表示可由其生成元 $\{J^a\}$ 和对易关系确定，生成元的数量即为表示的维数，其中 $f^{ab}_{\;\;\;c}$ 称为结构常数，对Hermitian生成元结构常数为实数

$$[J^a,J^b]=\sum_c f^{ab}_{\;\;\;c} J^c$$

若代数无真理想，即生成元不存在真子集 $\{L^a\}$ 使得 $[L^a,J^b]\in \{L^a\}$，则称此代数为单Lie代数，单Lie代数的直和称为半单Lie代数

Cartan-Weyl基

半单Lie代数的标准Cartan-Weyl基可通过以下方式构造，先寻找极大对易Hermitian生成元组 $\{H^i\},\;\; i=1,\cdots,r$ ，$r$ 为代数的秩，这些生成元可同时对角化，其构成Cartan子代数 $\mathfrak{h}$，

$$[H^i,H^j]=0$$

再选择满足以下关系的 $\{E^\alpha\}$ 构成完整线性无关生成元组，其中 $\alpha=(\alpha^1,\cdots,\alpha^r)$ 称为根，$E^\alpha$ 称为梯算符，由 $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{g}$ 极大Abelian子代数知代数的根非简并；同时根构成映射 $\mathfrak{h}\to \mathbb{R}:H^i\mapsto \alpha(H^i)=\alpha^i$，因此根属于Cartan子代数的对偶 $\alpha\in \mathfrak{h}^*$

$$[H^i,E^\alpha]=\alpha^i E^\alpha$$

对上式取Hermitian共轭，可知 $-\alpha$ 也为根，下文用 $\Delta$ 表示所有根的集合

$$E^{-\alpha}=(E^\alpha)^\dagger$$

在特殊表示中根可视作 $H^i$ 的非零特征值，称为伴随表示，即Lie代数本身充当生成元作用的矢量空间，在此表示下可将生成元与态等同

$$E^\alpha\mapsto\ket{E^\alpha}\equiv\ket{\alpha}$$

$$H^i\mapsto\ket{H^i}$$

记伴随表示下生成元的作用为 $\text{ad}(X)$

$$\text{ad}(X) Y=[X,Y]$$

$$\text{ad}(H^i)E^\alpha=\alpha^i E^\alpha\quad\mapsto\quad H^i\ket{\alpha}=\alpha^i\ket{\alpha}$$

梯算符与生成元的一一对应反映了根非简并的特征，而零特征值的简并度为 $r$

对此代数应用Jacobi等式

$$[H^i,[E^\alpha,E^\beta]]=(\alpha^i+\beta^i)[E^\alpha,E^\beta]$$

可知若 $\alpha+\beta\in\Delta$，$[E^\alpha,E^\beta]\propto E^{\alpha+\beta}$；若 $\alpha+\beta\notin\Delta$，$[E^\alpha,E^\beta]=0$，对 $\alpha=-\beta$，$[E^\alpha,E^{-\alpha}]$ 为Cartan子代数中生成元的线性组合，可将梯算符归一化，使得此对易子值为 $2\alpha\cdot H/|\alpha|^2$

综上，Cartan-Weyl基下完整的对易关系为

$$\begin{aligned}\ [H^i,H^j] & =0 &\\ [H^i,E^\alpha] &=\alpha^i E^\alpha &\\ [E^\alpha,E^\beta] &=N_{\alpha,\beta}E^{\alpha+\beta}&\text{if}\quad\alpha+\beta\in\Delta\\&=\frac{2}{|\alpha|^2}\alpha\cdot H&\text{if}\quad\alpha+\beta=0\\&=0&\text{otherwise}\end{aligned}$$

Killing形式

用以确定对易子的归一化通常由以下Killing形式引入，其赋予了Lie代数标量乘法运算，若在某组基 $\{T^b\}$ 下计算，可先求出 $[X,[Y,T^b]]$ 中 $T^b$ 的系数，将所有系数相加即可得到所需的迹

$$\tilde{K}(X,Y)=\Tr(\text{ad}X\text{ad}Y)$$

对于半单Lie代数，Killing形式非退化，$\tilde{K}(X,Y)=0\;\;\;\forall\;Y\quad\Leftrightarrow\quad X=0$

下文中将使用Killing形式的重整化版本，其中 $g$ 为常数，将在之后定义

$$K(X,Y)=\frac{1}{2g}\Tr(\text{ad}X\text{ad}Y)$$

由于Killing形式关于 $X,Y$ 对称，故其可在某组基 $\{J^a\}$ 下正交归一，称为标准基

$$K(X,Y)=[X_a T^a,[Y_b T^b,T^c]]T_c=g^{ab} X_aY_b\qquad g^{ab}=f^{ad}_{\;\;\;c}f^{bc}_{\;\;\;d}$$

$$K(J^a,J^b)=\delta^{a,b}$$

要求Cartan子代数生成元也满足此条件

$$K(H^i,H^j)=\delta^{i,j}$$

由于Killing形式定义了标量积，$g^{ab}=K(T^a,T^b)$ 相当于度规张量，可用其升降指标，可知 $f_{abc}$ 为反对称张量，在标准基下指标的上下无关紧要

$$f_{abc}=g_{ad}\;g_{be}f^{d e}_{\;\;\; c}$$

由于迹循环对称，Killing形式也满足以下等式

$$K([Z,X],Y)+K(X,[Z,Y])=0$$

由以上关系可得

$$[E^\alpha,E^{-\alpha}]=K(E^\alpha,E^{-\alpha})\alpha\cdot H$$

可知上文梯算符归一化即为

$$K(E^\alpha,E^{-\alpha})=\frac{2}{|\alpha|^2}$$

Killing形式的基本作用为建立Cartan子代数 $\mathfrak{h}$ 与其对偶 $\mathfrak{h}^*$ 之间的同构，$K(H^i,\cdot)$ 将 $\mathfrak{h}$ 中每个元素映为实数，因此对 $\gamma\in \mathfrak{h}^*$，存在 $H^\gamma\in \mathfrak{h}$ 使得

$$\gamma(H^i)=K(H^i,H^\gamma)$$

由此同构，Killing形式可转化为对偶空间中的正定标量积

$$(\beta,\gamma)=K(H^\beta,H^\gamma)$$

由于根为 $\mathfrak{h}^*$ 中元素，故可由上定义根空间内积，可知 $|\alpha|^2=(\alpha,\alpha)$

权

在Lie代数的一般表示中，由以下特征值构成的矢量 $\lambda=(\lambda^1,\cdots,\lambda^r)$ 称为权，其同样位于 $\mathfrak{h}^*$ 中，可以由Killing形式定义内积，伴随表示中权称为根

$$H^i\ket{\lambda}=\lambda^i\ket{\lambda}$$

由下式可知梯算符作用于权本征态 $\ket{\lambda}$ 得到的非零态正比于 $\ket{\lambda+\alpha}$

$$H^i E^\alpha=[H^i,E^\alpha]\ket{\lambda}+E^\alpha H^i\ket{\lambda}=(\lambda^i+\alpha^i)E^\alpha\ket{\lambda}$$

以下证明对有限维表示态 $\ket{\lambda}$，任取根 $\alpha$，均存在非负整数 $p,q$ 使得

$$(E^\alpha)^{p+1}\ket{\lambda}\sim E^\alpha\ket{\lambda+p\alpha}=0$$

$$(E^{-\alpha})^{q+1}\ket{\lambda}\sim E^{-\alpha}\ket{\lambda-q\alpha}=0$$

注意到 $E^\alpha,E^{-\alpha},\alpha\cdot H/|\alpha|^2$ 形成 $\mathfrak{su}(2)$ 子代数 $\{J^+,J^-,J^3\}$

$$[J^+,J^-]=2J^3\qquad[J^3,J_\pm]=\pm J^\pm$$

若 $\ket{\lambda}$ 属于有限维表示，则其在对应于根 $\alpha$ 的 $\mathfrak{su}(2)$ 子代数上的投影也为有限维，设为 $2j+1$，因此对 $\ket{\lambda}$ 连续作用有限个梯算符 $J^\pm$ 可达到 $J^3=\alpha\cdot H/|\alpha|^2$ 本征值 $m=\pm j$ 投影态

$$j=\frac{(\alpha,\lambda)}{|\alpha|^2}+p\qquad -j=\frac{(\alpha,\lambda)}{|\alpha|^2}-q$$

消去 $j$ 即得所需关系，此式说明对任意有限维表示权 $\lambda$，$(\alpha,\lambda)/|\alpha|^2$ 为整数

$$2\frac{(\alpha,\lambda)}{|\alpha|^2}=-(p-q)$$

单根与Cartan矩阵

取 $\mathfrak{h}^*$ 中一组基 $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r\}$，任意根可写为其线性组合

$$\alpha=\sum_{i=1}^r n_i\beta_i$$

在基下可以定义根的全序关系，一种定义方式为：若序列 $(n_1,n_2,\cdots,n_r)$ 中第一个非零数为正数，则称 $\alpha$ 为正根，反之为负根，正根与负根的集合满足 $\Delta_+=-\Delta_-$

若正根 $\alpha_i$ 不能写为两个正根之和，则称其为单根，单根集 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}$ 构成根空间最为方便的一组基，注意单根集的选取并不唯一，其依赖于基 $\{\beta_i\}$ 与所使用的全序关系，由单根定义可知，两个单根之差不是根，$\alpha_i-\alpha_j\notin \Delta$，并且任意正根可写为一系列正根之和

由单根的标量积可定义Cartan矩阵，其为整数阵，对角元为 $2$，一般为非对称阵

$$A_{ij}=\frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{\alpha_j^2}$$

由Schwarz不等式知 $A_{ij}A_{ji}<4\;\;\text{for}\;\;i\neq j$，另外由 $\alpha_i-\alpha_j$ 非根可知 $E^{-\alpha_j}\ket{\alpha_i}=0$，即 $q=0$，$(\alpha_i,\alpha_j)\le 0$，说明 $A_{ij}$ 非对角元为非正整数，结合不等式可知其取值集合只能为 $\{0,-1,-2,-3\}$，可知两不同单根夹角取值集合为 $\{\pi/2,2\pi/3,3\pi/4,5\pi/6\}$

由上可知对于单Lie代数，根的长度最多只有两种，且长根与短根长度比为 $\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3}$，若所有根长度相等，则称为单缀Lie代数

引入 $\alpha_i^\vee$ ，称为 $\alpha_i$ 的伴根，Cartan矩阵可表示为

$$A_{ij}=(\alpha_i,\alpha_j^\vee)\qquad \alpha_j^\vee=\frac{2\alpha_j}{|\alpha_j|^2}$$

记 $\Delta$ 中最高根为 $\theta$，即对展开式 $\sum m_i\alpha_i$，系数和 $\sum m_i$ 最大，$\Delta$ 中所有元素均可由 $\theta$ 减去一系列单根得到，$\theta$ 在基 $\{\alpha_i\}$，$\{\alpha_i^\vee\}$ 下的展开系数 $(a_i)$，$(a_i^\vee)$ 分别称为标和伴标

$$\theta=\sum_{i=1}^r a_i\alpha_i=\sum_{i=1}^r a_i^\vee\alpha_i^\vee\qquad a_i,a_i^\vee\in\mathbb{N}$$

标和伴标满足以下关系

$$a_i=\frac{2 a_i^\vee}{|\alpha_i|^2}$$

定义对偶Coxeter数，由于下文不会出现Coxeter数，故省略其角标 $\vee$

$$g=\sum_{i=1}^r a_i^\vee+1$$

Chevalley基

下文将说明完整根集可由单根集重新构造得到，而单根集可由Cartan矩阵简单得到，并且Cartan矩阵完全确定了代数的对易关系；证明的关键在于利用以下Chevalley基

$$e^i=E^{\alpha_i}\qquad f^i=E^{-\alpha_i}\qquad h^i=\frac{2\alpha_i\cdot H}{|\alpha_i|^2}$$

以上三种生成元的对易关系为

$$[h^i,h^j]=0$$

$$[h^i,e^j]=A_{ji}e^j$$

$$[h^i,f^j]=-A_{ji}f^j$$

$$[e^i,f^j]=\delta_{ij}h^i$$

剩余梯算符的对易关系可写为以下Serre关系

$$[\text{ad}(e^i)]^{1-A_{ji}}e^j=0$$

$$[\text{ad}(f^i)]^{1-A_{ji}}f^j=0$$

Serre关系反映了根属于两个不交集合 $\Delta_\pm$ 的特征，其与基本对易关系均可由Cartan矩阵表示，说明 $A_{ij}$ 包含单Lie代数的全部结构信息，另外Cartan矩阵也是Lie代数推广的有效出发点

Chevalley基下Cartan子代数的Killing形式为

$$K(h^i,h^j)=(\alpha_i^\vee,\alpha_j^\vee)$$

Dynkin图

Cartan矩阵中所有信息均可封装在简单平面图中，称为Dykin图，其作图过程为：先对每个单根 $\alpha_i$ 画一个节点，长根为白，短根为黑；接着将节点 $i,j$ 用 $A_{ij}A_{ji}$ 根线段相连，可知正交根不相连，夹角为 $120,135,150$ 度的根分别用 $1,2,3$ 根线段相连

现在单Lie代数的分类可归结为Dynkin图的分类，完整的分类包括四种无限族 $A_r,B_r,C_r,D_r$，分别对应经典代数 $\mathfrak{su}(r+1),\mathfrak{so}(2r+1),\mathfrak{sp}(2r),\mathfrak{so}(2r)$，和五种特殊情况 $E_6,E_7,E_8,F_4,G_2$，其角标表示代数的秩，其中 $A,D,E$ 为单缀代数

基本权

由于权与根位于 $r$ 维矢量空间，因此权可用单根基展开，但此种展开方式的系数不为整数，使用不便；对于权展开最方便的基实际上是与单伴根对偶的基 $\{\omega_i\}$，称为基本权

$$(\omega_i,\alpha_j^\vee)=\delta_{ij}$$

权 $\lambda$ 在基本权基下的展开系数 $\lambda_i$ 称为Dynkin标，有限维不可约表示下权的Dynkin标为整数，这些权称为积分，现在权可默认写为Dynkin标分量形式

$$\lambda=\sum_{i=1}^r\lambda_i\omega_i\qquad\Leftrightarrow\qquad\lambda_i=(\lambda,\alpha_i^\vee)$$

$$\lambda=(\lambda_1,\cdots,\lambda_r)$$

单根的Dynkin标即为Cartan矩阵的行矢量

$$\alpha_i=\sum_j A_{ij}\omega_j$$

Dynkin标为Cartan子代数Chevalley生成元的本征值，注意 $\lambda_i$ 表示 $h^i$ 本征值，$\lambda^i$ 表示 $H^i$ 本征值

$$h^i\ket{\lambda}=\lambda(h^i)\ket{\lambda}=(\lambda,\alpha_i^\vee)\ket{\lambda}$$

$$h^i\ket{\lambda}=\lambda_i\ket{\lambda}$$

将所有Dynkin标均为 $1$ 的特殊权称为Weyl矢量，记为 $\rho$

$$\rho=\sum_i\omega_i=(1,1,\cdots,1)$$

Weyl矢量有以下等价定义，将在下文证明

$$\rho=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\in\Delta_+}\alpha$$

基本权的标量积构成对称二次型矩阵 $F_{ij}$，其为 $\{\omega_i\}$ 和 $\{\alpha_i^\vee\}$ 之间的转移矩阵

$$(\omega_i,\omega_j)=F_{ij}\qquad\omega_i=\sum_j F_{ij}\alpha_j^\vee$$

可知 $F_{ij}$ 为单伴根的Dynkin标构成矩阵的逆，其与Cartan矩阵关系如下

$$F_{ij}=(A^{-1})_{ij}\frac{\alpha_j^2}{2}$$

权的标量积可用二次型表示如下

$$(\lambda,\mu)=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(\omega_i,\omega_j)=\sum_{ij}\lambda_i\mu_j F_{ij}$$

Weyl群

现在回到伴随表示在 $\mathfrak{su}(2)$ 子代数上的对应于根 $\alpha$ 的投影，记 $m$ 为 $J^3=\alpha\cdot H/|\alpha|^2$ 在 $\ket{\beta}$ 态的本征值

$$2m=(\alpha^\vee,\beta)$$

若 $m$ 不为零，则存在本征值为 $-m$ 的态 $\ket{\beta+l\alpha}$

$$(\alpha^\vee,\beta+l\alpha)=(\alpha^\vee,\beta)+2l=-(\alpha^\vee,\beta)$$

上式说明若 $\beta$ 为根，则 $\beta-(\alpha^\vee,\beta)\alpha$ 也为根

定义算符 $s_\alpha$，其为与 $\alpha$ 垂直的超平面的反射

$$s_\alpha\beta=\beta-(\alpha^\vee,\beta)\alpha$$

所有根的反射构成群，称为代数的Weyl群，记为 $W$，其由 $r$ 个单Weyl反射 $s_i\equiv s_{\alpha_i}$ 生成，群元 $w\in W$ 可分解为一系列单Weyl反射乘积

$$w=s_i s_j\cdots s_k$$

容易验证单Weyl反射满足以下性质

$$s_i^2=1\qquad s_is_j=s_js_i\quad\text{if}\quad A_{ij}=0$$

其推广满足以下Coxeter群的性质，其中 $\theta_{ij}$ 为单根 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ 之间的夹角，此性质也可视为Weyl群的定义，其信息同样与Cartan矩阵直接相关

$$(s_i s_j)^{m_{ij}}=1\qquad m_{ij}=\left\lbrace\begin{array}{c}2&\text{if}\quad i=j\\\displaystyle\frac{\pi}{\pi-\theta_{ij}}&\text{if}\quad i\neq j\end{array}\right.$$

对于单根，$s_i$ 的作用为

$$s_i\alpha_j=\alpha_j-A_{ij}\alpha_i$$

$W$ 将 $\Delta$ 映到自身，其提供了从单根获得 $\Delta$ 的简单方式

$$\Delta=\{w\alpha_1,\cdots,w\alpha_r|w\in W\}$$

由此构造可知选定 $w’$，$\{w’\alpha_i\}$ 可作为一组单根基，这建立了不同单根基之间的关系

现在证明 $\rho$ 两种定义的等价性，由第一种定义，$(\rho,\alpha_i^\vee)=1\quad\forall\; i$，下面说明第二种定义同样满足此性质，设 $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{\alpha>0}\alpha$，考虑 $s_i\sigma$，由于 $A_{ij}\le 0\quad\text{for}\; i\neq j$，故 $s_i$ 将除 $\alpha_i$ 之外的正根重新排列，将 $\alpha_i$ 变为 $-\alpha_i$

$$s_i\sigma=\frac{1}{2}\sum_{\alpha>0,\alpha\neq \alpha_i}\alpha-\frac{1}{2}\alpha_i=\frac{1}{2}\sum_{\alpha>0}\alpha-\alpha_i$$

与伴根作标量积得

$$(s_i\sigma,\alpha_i^\vee)=(\sigma-\alpha_i,\alpha_i^\vee)=(\sigma,\alpha_i^\vee)-2$$

另外由标量积在Weyl变换下不变可得

$$(s_i\sigma,\alpha_i^\vee)=(\sigma,s_i\alpha_i^\vee)=-(\sigma,\alpha_i^\vee)$$

两式结合可得 $(\sigma,\alpha_i^\vee)=1$，说明 $\sigma=\rho$

将Weyl群对根作用推广为对权作用

$$s_\alpha\lambda=\lambda-(\alpha^\vee,\lambda)\alpha$$

容易验证此作用保持权标量积不变

$$(s_\alpha\lambda,s_\alpha\mu)=(\lambda,\mu)$$

$$(w\lambda,\mu)=(\lambda,w^{-1}\mu)$$

Weyl群自然诱导出 $r$ 维权矢量空间的单锥腔划分，腔的数目等于 $W$ 的阶数，腔壁 $(w\lambda,\alpha_i)=0$ 为 $s_i$ 的反射超平面

$$C_w=\{\lambda|(w\lambda,\alpha_i)\ge 0,i=1,\cdots,r\}\qquad w\in W$$

对应于Weyl群单位元的腔称为基本腔，记为 $C_0$，对任意权 $\lambda\notin C_0$，均存在 $w\in W$ 使得 $w\lambda\in C_0$，更准确地，每个权的 $W$ 轨道恰好有一个点在基本腔中

称在基本腔中即Dynkin标均为正整数的权为支配权，可知最高根 $\theta$ 为支配权

引入几个将在下文中使用的记号，其中移位Weyl反射用 $\cdot$ 表示

$$w\cdot\lambda\equiv w(\lambda+\rho)-\rho$$

容易验证移位Weyl反射满足

$$w\cdot(w’\cdot\lambda)=(ww’)\cdot\lambda$$

$w$ 的长度，记为 $l(w)$，为分解 $w=\prod_i s_i$ 中所需 $s_i$ 的最小数目；$w$ 的符号，定义为

$$\epsilon(w)=(-1)^{l(w)}$$

在 $w$ 的线性表示中，$w$ 的符号即为 $\det(w)$；记Weyl群中最长的元素为 $w_0$，其为将 $\Delta_+$ 映为 $\Delta_-$ 的唯一元素

点阵

$\mathbb{R}^d$ 中基 $(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_d)$ 的点阵为 $\{\epsilon_i\}$ 的 $\mathbb{Z}$ span，Lie代数的 $r$ 维权、根和伴根阵为

$$P=\mathbb{Z}\omega_1+\cdots+\mathbb{Z}\omega_r$$

$$Q=\mathbb{Z}\alpha_1+\cdots+\mathbb{Z}\alpha_r$$

$$Q^\vee=\mathbb{Z}\alpha_1^\vee+\cdots+\mathbb{Z}\alpha_r^\vee$$

权阵 $P$ 的存在建立在有限维表示的权具有整数Dynkin标的基础之上，$P$ 与Lie群生成元的关系是双层的，首先，$P$ 中用以确定权位置的整数为Chevalley生成元 $h^i$ 的本征值；其次，其他生成元的作用为将这些特征值平移根阵 $Q$ 中的某个元素

由于根为在特殊有限维表示下的权，故 $Q\subset P$，可知在 $E^\alpha$ 作用下，$P$ 中点仍然变换为 $P$ 中点；下文中用 $P_+$ 表示支配权阵

$$P_+=\mathbb{Z}_+\omega_1+\cdots+\mathbb{Z}_+\omega_r$$

对于代数 $G_2,F_4$ 和 $E_8$，$Q=P$，其余情况下 $Q$ 均为 $P$ 真子集，$P/Q$ 为有限群，由 $\alpha_i=\sum_j A_{ij}\omega_j$ 可知其阶 $|P/Q|$ 等于Cartan矩阵行列式，实际上 $P/Q$ 同构于代数对应Lie群的中心，其中元素定义了同余类，也称共轭类

$\mathfrak{su}(N)$ 的同余类为

$$\lambda_1+2\lambda_2+\cdots+(N-1)\lambda_{N-1}\;\mod N$$

对任意代数 $\mathfrak{g}$，同余类具有以下形式，其中 $\nu$ 称为同余矢量

$$\lambda\cdot \nu=\sum_{i=1}^r\lambda_i\nu_i\;\mod |P/Q|\quad( \text{mod}\;\mathbb{Z}_2\quad\text{for}\quad \mathfrak{g}=D_{2l})$$

由于基 $\{\omega_i\}$ 与 $\{\alpha_i^\vee\}$ 对偶，故 $P$，$Q^\vee$ 为对偶阵，单Lie代数中仅 $E_8$ 的权阵自对偶

归一化

代数中最高根为长根，将其长度归一化为 $\sqrt{2}$，则 $|\alpha_i|^2\le 2$

$$|\theta|^2=2$$

结合 $a_i=2 a_i^\vee/|\alpha_i|^2$ 可知

$$a_i\ge a_i^\vee\qquad\Rightarrow\qquad a_i^\vee =1\quad\text{if}\quad a_i=1$$

进而有

$$\alpha_i^\vee=\alpha_i\frac{a_i}{a_i^\vee}\qquad\Rightarrow\qquad\alpha_i^\vee\ge \alpha_i$$

范例

$\mathfrak{su}(2)$

$\mathfrak{su}(2)$ 为唯一秩为 $1$ 的Lie代数，其Cartan矩阵 $A=(2)$

$$\alpha_1=2\omega_1\qquad(\omega_1,\omega_1)=\frac{1}{2}$$

其Weyl群为 $\{1,s_1\}$，生成元 $s_1$ 对权 $\lambda=\lambda_1\omega_1$ 的作用为

$$s_1(\lambda_1\omega_1)=\lambda_1\omega_1-\lambda_1\alpha_1=-\lambda_1\omega_1$$

可知其根集也只含两个元素 $\Delta=\{\alpha_1,-\alpha_1\}$

为了后续应用，将不同基下的对易关系显式写出，在Chevalley基下

$$[e,f]=h\qquad[h,e]=2e\qquad[h,f]=-2 f$$

$$h\ket{\lambda}=\lambda_1\ket{\lambda}$$

在Cartan-Weyl基下，生成元及其对易关系如下，其中 $E^\pm\equiv E^{\pm\alpha_1}$

$$H=h/\sqrt{2}\qquad E^+=e\qquad E^-=f$$

$$[E^+,E^-]=\sqrt{2}H\qquad [H,E^\pm]=\pm \sqrt{2}E^\pm$$

$$H\ket{\lambda}=\lambda_1\ket{\lambda}=\lambda_1/\sqrt{2}\ket{\lambda}$$

另一种常用的 $\mathfrak{su}(2)$ 基为自旋基

$$J^0=\frac{H}{\sqrt{2}}\qquad J^\pm=E^\pm$$

$$[J^+,J^-]=2J^0\qquad[J^0,J^\pm]=\pm J^\pm$$

生成元对态 $\ket{\lambda}=\ket{j,m}$ 作用为

$$J^0\ket{j,m}=m\ket{j,m}$$

$$J^\pm\ket{j,m}=\sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\ket{j,m\pm 1}$$

$\mathfrak{su}(3)$

$\mathfrak{su}(3)$ 秩为 $2$，其Cartan矩阵为

$$A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$

代数的两个单根长度相同，其与基本权的关系为

$$\alpha_1=\alpha_1^\vee=2\omega_1-\omega_2=(2,-1)$$

$$\alpha_2=\alpha_2^\vee=-\omega_1+2\omega_2=(-1,2)$$

$$(\omega_1,\omega_1)=(\omega_2,\omega_2)=\frac{2}{3}\qquad(\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{3}$$

其反射算符关系及Weyl群为

$$(s_1 s_2)^3=1\Rightarrow s_1s_2s_1=s_2s_1s_2$$

$$W=\{1,s_1,s_2,s_1s_2,s_2s_1,s_1s_2s_1\}$$

反射算符对权作用为

$$s_1(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda_1,\lambda_2)-\lambda_1\alpha_1=(-\lambda_1,\lambda_1+\lambda_2)$$

$$s_2(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda_1,\lambda_2)-\lambda_2\alpha_2=(\lambda_1+\lambda_2,-\lambda_2)$$

$$s_1s_2(\lambda_1,\lambda_2)=(-\lambda_1-\lambda_2,\lambda_1)$$

$$s_2s_1(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda_2,-\lambda_1-\lambda_2)$$

$$s_1s_2s_1(\lambda_1,\lambda_2)=s_2s_1s_2(\lambda_1,\lambda_2)=(-\lambda_2,-\lambda_1)$$

通过反射算符对单根作用可得完整根集

$$\Delta=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1,-\alpha_2,-\alpha_1-\alpha_2\}$$

$$\theta=\alpha_1+\alpha_2\qquad\Rightarrow\qquad a_i=a_i^\vee=1,i=1,2$$

此代数的根与Weyl腔如下图所示，其中虚线为腔壁

$\mathfrak{sp}(4)$

$\mathfrak{sp}(4)$ 同样为 $2$ 秩代数，但并不单缀，其Cartan矩阵为

$$A=\begin{pmatrix}2&-1\\-2&2\end{pmatrix}$$

可知单根与基本权性质如下

$$\alpha_1=\frac{1}{2}\alpha_1^\vee=2\omega_1-\omega_2=(2,-1)$$

$$\alpha_2=\alpha_2^\vee=-2\omega_1+2\omega_2=(-2,2)$$

$$(\omega_1,\omega_1)=(\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{2}\qquad(\omega_2,\omega_2)=1$$

$$|\alpha_2|^2=2\qquad\Rightarrow\qquad|\alpha_1|^2=1$$

其反射算符关系及Weyl群为

$$(s_1 s_2)^4=1$$

$$W=\{1,s_1,s_2,s_1s_2,s_2s_1,s_1s_2s_1,s_2s_1s_2,s_1s_2s_1s_2\}$$

由Weyl群可构造根集

$$\Delta=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1,-\alpha_2,-\alpha_1-\alpha_2,-2\alpha_1-\alpha_2\}$$

$$\theta=2\alpha_1+\alpha_2=2\alpha_1^\vee+\alpha_2^\vee\qquad\Rightarrow\qquad a_1=2,a_2=a_1^\vee=a_2^\vee=1$$

此代数的根与Weyl腔如下图所示，其中根矢量本身为腔壁