弦作用量

参考 $\mathbb{R}^{1,D-1}$ 维时空中相对论点粒子作用量，其中 $\gamma$ 为粒子轨迹，$m$ 为粒子质量

$$S=m\int_\gamma\text{d} s=m\int_\gamma\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau }\frac{\partial X^\nu}{\partial\tau }}\text{d}\tau$$

$$\gamma:\tau\to X^\mu(\tau)\in \mathbb{R}^{1,D-1}$$

类比得到弦的Nambu-Goto作用量，其中 $\Sigma$ 为弦世界面，$T:=1/2\pi\alpha’$ 为弦张量

$$S_{NG}=-T\int_\Sigma\text{d} A=T\int_\Sigma\text{d}^2\sigma\sqrt{-\det \gamma_{ab}}\qquad\gamma_{ab}=\eta_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu$$

$$\Sigma:(\tau,\sigma)\to X^\mu(\tau,\sigma)\in \mathbb{R}^{1,D-1}$$

由于根号形式不利于作用量的量子化，故将其改写为以下弦sigma模型作用量

$$S_\sigma=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int_\Sigma\text{d}^2\sigma\sqrt{-\det h}\;h^{ab}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu}$$

$S_\sigma$ 具有以下三种对称性

$1.\quad$ Poincaré对称

$$X^\mu(\sigma)\to\Lambda^\mu_{\;\nu}X^\nu+V^\mu\qquad\Lambda\in O(1,D-1)$$

$2.\quad$ 世界面同胚对称

$$f:\tilde{\Sigma}\to \Sigma\qquad h=f^*\tilde{h}$$

$$\tilde{X}^\mu(\tilde{\sigma})\qquad\tilde{\sigma}=\tilde{\sigma}(\sigma)$$

$$\tilde{h}^{ab}=h^{cd}\frac{\partial\tilde{\sigma}^a}{\partial\sigma^c}\frac{\partial\tilde{\sigma}^b}{\partial\sigma^d}$$

$2.\quad$ Weyl变换对称

$$h_{ab}\to e^{2\omega(\sigma)}h_{ab}$$

可见 $\text{Diff}\times\text{Weyl}$ 为规范对称

计算sigma模型的能动张量

$$\begin{aligned}T_{ab}&=-\frac{4\pi}{\sqrt{-h}}\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}\\&=-\frac{1}{\alpha’}\left[\partial_a X^\mu\partial_b X_\mu-\frac{1}{2}h_{ab}\partial_c X^\mu\partial^c X_\mu\right]\end{aligned}$$

可见 $T_{ab}$ 对称、无迹且散度为零，其中无迹是Weyl对称的结果

$$T_{ab}=T_{ba}\qquad T^a_{\;\; a}=0\qquad\nabla_a T^{ab}=0$$