范例

Yang-Lee奇点

对于有限 $N$ 格点理论，其配分函数为模型参数的解析函数，非解析行为即相变只能发生在热力学极限($N\to\infty$)下，为明确这一点，考虑以下处于温度 $T$ 和外场 $H$ 中的Ising模型

$$E[\sigma]=-J\sum_{\ev{ij}}\sigma_i\sigma_j-H\sum_i\sigma_i$$

对于有限 $N$ 和实值 $H$，配分函数 $Z=\displaystyle \sum_\sigma e^{-\beta E[\sigma]}$ 无零点；而在一般铁磁性自旋模型($J>0$)中，当 $N\to\infty$ 时配分函数零点出现在复平面上的多个弧形上，对此Ising模型已经证明配分函数零点出现在虚轴 $H=i\frak{h}$ 上，并且自由能 $F=\ln Z$ 可以用虚轴上的零点密度 $\rho(\mathfrak{h},T)$ 表示

$$F(h)=\int_{-\infty}^{\infty}\dd x\;\rho(x,T)\ln(h-ix)$$

可知磁化强度为

$$M=\frac{\partial F}{\partial H}=\int_{-\infty}^{\infty}\dd x\;\frac{\rho(x,T)}{H-ix}$$

在临界温度以下($T<T_c$)，配分函数零点拓展到实轴 $\rho(0,T)\neq 0$，并且磁化强度在 $H$ 沿实轴穿过原点时不连续，即发生一阶相变；在 $T=T_c$ 时，$\rho(0,T)$ 为零，磁化强度连续变化；在顺磁相$(T>T_c)$，零点密度 $\rho(\mathfrak{h},T)$ 在某个临界值 $\mathfrak{h}_c(T)$ 处截断为零，称为Yang-Lee边缘，假定零点密度在 $\mathfrak{h}_c$ 附近具有幂律行为

$$\rho(\mathfrak{h},T)=(\mathfrak{h}-\mathfrak{h}_c)^\sigma$$

容易证明磁化强度 $M(i\mathfrak{h})$ 同样具有 $(\mathfrak{h}-h_c)^\sigma$ 渐近行为，可以断言，使用与统计力学中相同的尺度论证，可得指数 $\sigma$ 与临界关联函数的指数 $\eta$ 关系如下

$$\sigma=\frac{1}{\delta}=\frac{d-2+\eta}{d+2-\eta}=\frac{\eta}{4-\eta}\qquad d=2$$

然而指数为 $\eta$ 的关联函数并不是Ising自旋在临界点($h=0,T_c$)的关联函数，而是属于另一个尚未明确的缩放场，其描述模型在靠近 $h=i\mathfrak{h}_c$ 的虚场中的涨落，当 $h\to i\mathfrak{h}_c$，关联长度发散

与之对应的Landau-Ginzburg理论包含 $i\Phi^3$ 项，此模型由于虚磁场的存在非酉，虚磁场可以解释为Landau-Ginzburg有效场论中的虚耦合常数

$$\mathcal{L}_{YL}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\Phi)^2+i(h-h_c)\Phi+i\gamma\Phi^3$$

在寻找与此临界点对应的极小模型时，首先应当注意模型非酉；其次通过重整化群分析，复合场 $\Phi^2$ 是冗余的，意味着算符乘积 $\Phi\Phi$ 并不给出新缩放场，即

$$\Phi\times\Phi=\mathbb{I}+\Phi$$

具有此聚变规则的唯一极小模型为 $\mathcal{M}(5,2)$，中心荷 $c=-22/5$，此模型含两个初级场：$\phi_{(1,1)}$ [维数 $0$ ] 和 $\phi_{(1,2)}=\phi_{(1,3)}$ [维数 $-1/5$]，其为物理场 $\mathbb{I}$ [维数 $(0,0)$ ] 和 $\Phi$ [维数 $(-1/5,-1/5)$] 的手性成分；可知 $\Phi$ 缩放维数 $\Delta=-2/5$，对应指数 $\eta=2\Delta=-4/5$，$\sigma=-1/6$，与高温序列分析结果 $\sigma=-0.163\pm 0.003$ 吻合

Ising模型

最简单的非平凡极小模型为 $\mathcal{M}(4,3)$，其中心荷 $c=1/2$，描述临界Ising模型，具体细节将在之后讨论，在此只陈述结果

除了单位算符之外，临界Ising模型中还存在Ising自旋 $\sigma$ (格点自旋 $\sigma_i$ 的连续版本)和能量密度 $\varepsilon$ (作用能 $\sigma_i\sigma_{i+1}$ 的连续版本) 两个局部缩放算符，后者因与 $\beta$ 有关也被称为热算符，指数 $\eta$ 和 $\nu$ 由以下关联函数的临界行为定义($d=2$)

$$\ev{\sigma_i\sigma_{i+n}}=\frac{1}{|n|^{d-2+\eta}}=\frac{1}{|n|^\eta}\qquad \ev{\varepsilon_i\varepsilon_{i+n}}=\frac{1}{|n|^{2d-2/\nu}}=\frac{1}{|n|^{4-2/\nu}}$$

由Ising模型的精确解可知 $\eta=1/4$，$\nu=1$；假定缩放场 $\sigma$ 和 $\varepsilon$ 无自旋 $(h=\bar h)$，则其共形维数为

$$(h,\bar h)_\sigma=(\frac{1}{16},\frac{1}{16})\qquad (h,\bar h)_\varepsilon=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$$

这三个算符与极小模型 $\mathcal{M}(4,3)$ 中场的对应关系为

$$\mathbb{I}\Longleftrightarrow \phi_{(1,1)}\quad \text{or}\quad\phi_{(2,3)}$$

$$\sigma\Longleftrightarrow \phi_{(2,2)}\quad \text{or}\quad\phi_{(1,2)}$$

$$\varepsilon\Longleftrightarrow \phi_{(2,1)}\quad \text{or}\quad\phi_{(1,3)}$$

对应的聚变规则如下，其与Ising模型的 $\mathbb{Z}_2$ 对称性 $\sigma_i\to -\sigma_i$ 一致

$$\sigma\times\sigma=\mathbb{I}+\varepsilon$$

$$\sigma\times\varepsilon=\sigma$$

$$\varepsilon\times\varepsilon=\mathbb{I}$$