代数结构
考虑单Lie代数 $\mathfrak{g}$ 的如下拓展，其元素同时为变量 $t$ 的Laurent多项式；若取 $t=e^{i\gamma},\;\gamma\in\mathbb{R}$，则其提供了从 $S^1$ 到 $\mathfrak{g}$ 的映射，因此称为圈代数
$$\tilde{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\otimes\mathbb{C}(t,t^{-1})$$
对代数 $\tilde{\mathfrak{g}}$ 作以下中心扩张，其中 $\hat{k}$ 与 $\mathfrak{g}$ 中所有生成元 $J^a$ 对易
$$[J^a\otimes t^n,J^b\otimes t^m]=\sum_c i f_{\;\;\; c}^{ab} J^c\otimes t^{n+m}+\hat{k}nK(J^a,J^b)\delta_{n+m,0}$$
取 $J^a$ 在Killing形式下正交归一，并记 $J^a_n\equiv J^a\otimes t^n$，上式成为
$$[J^a_n,J^b_m]=\sum_c i f_{\;\;\; c}^{ab} J_{n+m}^c+\hat{k}n\delta_{ab}\delta_{n+m,0}$$
事实上伴随表示中与所有生成元对易的张量只有Killing形式，上式为唯一符合反对易与Jacobi等式的中心扩张形式
Cartan-Weyl基
取归一化 $K(H^i,H^j)=\delta^{i,j}$，$K(E^\alpha,E^{-\alpha})=2/|\alpha|^2$，在仿射Cartan-Weyl基下生成元对易关系为
$$\begin{aligned}\ [H^i_n,H^j_m] & =\hat{k}n\delta^{ij}\delta_{n+m,0} &\\ [H^i_n,E^\alpha_m] &=\alpha^i E^\alpha_{n+m} &\\ [E^\alpha_n,E^\beta_m] &=N_{\alpha,\beta}E^{\alpha+\beta}_{n+m}&\text{if}\quad\alpha+\beta\in\Delta\\&=\frac{2}{|\alpha|^2}\left(\alpha\cdot H_{n+m}+\hat{k}n\delta_{n+m,0}\right)&\text{if}\quad\alpha+\beta=0\\&=0&\text{otherwise}\end{aligned}$$
由于 $(\alpha^1,\cdots,\alpha^r,0)$ 与 $n$ 无关，$E_n^\alpha$ 无穷重简并，故 $\{H_0^1,\cdots,H_0^r,\hat{k}\}$ 不是极大Abelian子代数，需定义以下算符 $L_0$ 再次扩张代数，$\{H_0^1,\cdots,H_0^r,\hat{k},L_0\}$ 生成极大Cartan子代数，$E_n^\alpha,\forall\; n$ 和 $H_n^\alpha,n\neq 0$ 为梯算符
$$L_0=-t\frac{\dd}{\dd t}\qquad [L_0,J_n^a]=-nJ_n^a$$
称扩张后的代数 $\hat{\mathfrak{g}}$ 为(非扭转)仿射Lie代数，物理上通常称为Kac-Moody代数，下文将 $\mathfrak{g}$ 称为有限代数
$$\hat{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\oplus\mathbb{C}\hat{k}\oplus\mathbb{C}L_0$$
Killing形式
将关系 $K([Z,X],Y)+K(X,[Z,Y])$ 推广到仿射Killing形式，通过选取合适的 $X,Y,Z$ 可得
$$\begin{array}{l}K(J_n^a,J_m^b)=\delta^{ab}\delta_{n+m,0}& \\K(J_n^a,\hat{k})=0\qquad &K(\hat{k},\hat{k})=0\\K(J_n^a,L_0)=0\qquad &K(L_0,\hat{k})=-1\end{array}$$
唯一未确定的Killing形式为 $K(L_0,L_0)$，可通过重定义 $L_0$ 使其为零
$$L_0\to L_0’=L_0+a\hat{k}\qquad K(L_0,L_0)=0$$
引入仿射权 $\hat{\lambda}$
$$\hat\lambda=(\hat{\lambda}(H_0^1),\cdots,\hat{\lambda}(H_0^r);\hat{\lambda}(\hat{k});\hat{\lambda}(-L_0))$$
$$\hat{\lambda}=(\lambda;k_\lambda;n_\lambda)$$
由仿射Killing形式知仿射权标量积规则为
$$(\hat{\lambda},\hat{\mu})=(\lambda,\mu)+k_\lambda n_\mu+k_\mu n_\lambda$$
对于伴随表示，仿射根具有形式
$$\hat\beta=(\beta;0;n)\qquad (\hat\beta,\hat\alpha)=(\beta,\alpha)$$
令 $\alpha=(\alpha;0;0)$，$\delta=(0;0;1)$，完整仿射根集为
$$\hat{\Delta}=\{\alpha+n\delta|n\in\mathbb{Z},\alpha\in\Delta\}\cup\{n\delta|n\in\mathbb{Z},n\neq 0\}$$
由于 $(\delta,\delta)=0$，$\delta$ 被称为虚根，所有虚根重数均为 $r$；其他实根重数均为 $1$
单根与Cartan矩阵
在 $\mathfrak{g}$ 的 $r$ 个单根 $\alpha_i$ 的基础上增添如下元素构成仿射Lie代数单根基
$$\alpha_0=(-\theta;0;1)=-\theta+\delta$$
正根集可表示为
$$\hat\Delta_+=\{\alpha+n\delta|n>0,\alpha\in\Delta\}\cup\{\alpha|\alpha\in\Delta_+\}$$
对 $n>0$，$\alpha\in\Delta$，下式说明正根集可分解为一系列仿射单根之和
$$\alpha+n\delta=\alpha+n\alpha_0+n\theta=n\alpha_0+(n-1)\theta+(\theta+\alpha)$$
应当注意在仿射Lie代数中没有最高根，伴随表示并不是最高权表示
由仿射单根可得以下扩展Cartan矩阵
$$\hat A_{ij}=(\alpha_i,\alpha_j^\vee)\qquad 0\le i,j\le r$$
$$\hat{\alpha}^\vee=\frac{2}{|\hat{\alpha}|^2}(\alpha;0;n)=\frac{2}{|\alpha|^2}(\alpha;0;n)=(\alpha^\vee;0;\frac{2}{|\alpha|^2}n)$$
对于仿射单根，其伴根与有限代数伴根并无区别
$$\alpha_0^\vee=\alpha_0\qquad\alpha_i^\vee=(\alpha_i^\vee;0;0)\quad i\neq 0$$
直接计算可得仿射Cartan矩阵的新增元素
$$(\alpha_0,\alpha_j^\vee)=-(\theta,\alpha_j^\vee)=-\sum_{i=1}^r a_i(\alpha_i,\alpha_j^\vee)$$
Dynkin图
在单Lie代数Dynkin图上增添额外节点 $\alpha_0$，并将其与节点 $\alpha_i$ 用 $\hat A_{0i}\hat A_{i0}$ 根线段相连，得到扩展Dynkin图，注意 $\alpha_0$ 的有限部分与有限代数单根线性相关，因此 $\hat A_{0i}\hat A_{i0}$ 可取 $4$，其只在 $\hat{\frak{su}}(2)$ 出现
下图为扩展Dynkin图，其中括号内的数依次表示单根的序号、标和伴标，对于单缀代数，标与伴标相同；定义零标 $a_0=1$，其伴标 $a_0^\vee=a_0|\alpha_0|^2/2=1$
由以上构造可知扩展Cartan矩阵满足以下条件
$$\sum_{i=0}^ra_i\hat A_{ij}=\sum_{i=0}^r\hat A_{ij} a_j^\vee$$
扩展Cartan矩阵行之间线性相关说明其具有一个零特征值，这反映了仿射标量积的半正定性质
虚根现在可写为
$$\delta=\sum_{i=0}^r a_i\alpha_i=\sum_{i=0}^r a_i^\vee\alpha_i^\vee$$
对偶Coxeter数为
$$g=\sum_{i=0}^r a_i^\vee$$
Chevalley基
引入以下生成元以构造仿射Chevalley基
$$e^0=E_{1}^{-\theta}\qquad f^0=E_{-1}^\theta\qquad h^0=\hat{k}-\theta\cdot H_0$$
扩展后的对易关系为
$$\begin{array}{l} &[h_n^i,h_m^j]=(\alpha_i^\vee,\alpha_j^\vee)\hat{k}n\delta_{ij}\delta_{n+m,0}=\displaystyle\frac{4}{\alpha_i^2}\hat{k}n\delta_{ij}\delta_{n+m,0}\\&[h_n^i,e_m^j]=\hat{A_{ji}}e_{n+m}^j\\&[h_n^i,f_m^j]=-\hat A_{ji}f_{n+m}^j\\&[e_n^i,f_m^j]=\displaystyle\delta_{ij}h_{n+m}^i+\displaystyle\frac{2}{\alpha_i^2}\hat{k}n\delta_{ij}\delta_{n+m,0}\end{array}$$
另有仿射Serre关系，未写下角标的生成元默认 $n$ 为零
$$[\text{ad}(e^i)]^{1-\hat{A}_{ji}}e^j=0$$
$$[\text{ad}(f^i)]^{1-\hat{A}_{ji}}f^j=0$$
以上形式说明 $\hat{A}$ 包含了 $\hat{g}$ 的全部结构信息
基本权
寻找与仿射单伴根对偶的基本权，对于 $i\neq 0$，由 $(\hat{\omega_i},\alpha_0^\vee)=0$ 定出
$$\hat{\omega}_i=(\omega_i;a_i^\vee;0)\qquad (i\neq 0)$$
而由与有限单根正交和 $(\hat{\omega}_0,\alpha_0^\vee)=1$ 可定出
$$\hat\omega_0=(0;1;0)$$
记 $\omega_i=(\omega_i;0;0)$，仿射基本权可写为
$$\hat{\omega}_i=a_i^\vee\hat{\omega}_0+\omega_i$$
仿射基本权内积关系为
$$(\hat{\omega}_i,\hat{\omega}_j)=(\omega_i,\omega_j)=F_{ij}\qquad i,j\neq 0$$
$$(\hat{\omega}_0,\hat{\omega}_i)=(\hat{\omega}_0,\hat{\omega}_0)=0\qquad i\neq 0$$
仿射权可用仿射基本权和 $\delta$ 展开
$$\hat{\lambda}=\sum_{i=0}^r\lambda_i\hat{\omega}_i+l\delta\qquad l\in\mathbb{R}$$
称 $k$ 为级，其可表示为
$$k=\hat{\lambda}(\hat{k})=\sum_{i=0}^r a_i^\vee \lambda_i$$
零Dynkin标为
$$\lambda_0=k-(\lambda,\theta)$$
模去 $\delta$ 后，仿射权和有限权的关系可写为
$$\hat{\lambda}=k\hat{\omega}_0+\lambda$$
仿射权可用Dynkin标表示为以下形式，注意此记号并不给出 $L_0$ 的特征值
$$\hat{\lambda}=[\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_r]$$
$$\hat{\omega}_0=[1,0,\cdots,0]\quad \hat{\omega}_1=[0,1,\cdots,0]\quad\hat\omega_r=[0,0,\cdots,1]$$
单根的Dynkin标即为仿射Cartan矩阵的行矢量
$$\alpha_i=[\hat A_{i0},\hat A_{i1},\cdots,\hat A_{i r}]$$
定义仿射Weyl矢量，注意其不能写为所有仿射正根之和的一半
$$\hat{\rho}=\sum_{i=0}^r\hat \omega_i=[1,1,\cdots,1]\qquad\hat{\rho}(\hat{k})=g$$
称所有Dynkin标均非负的仿射权为支配权，记所有 $k$ 级支配权的集合为 $P_+^k$
Weyl群
定义对应于实仿射根 $\hat{\alpha}$ 的Weyl反射
$$s_\hat{\alpha}\hat{\lambda}=\hat{\lambda}-(\hat{\lambda},\hat{\alpha}^\vee)\hat{\alpha}$$
所有Weyl反射生成仿射Weyl群，记 $\hat{\lambda}=(\lambda;k;n)$，$\hat{\alpha}=(\alpha;0;m)$，直接计算得
$$\begin{aligned}s_\hat{\alpha}\hat{\lambda}&=(\lambda-[(\lambda,\alpha)+km]\alpha^\vee;k;n-[(\lambda,\alpha)+km]\frac{2m}{|\alpha|^2})\\&=(s_\alpha(\lambda+km\alpha^\vee);k;n-[(\lambda,\alpha)+km]\frac{2m}{|\alpha|^2})\end{aligned}$$
取 $\hat{\lambda}$ 为 $\hat{\alpha}$ 或 $\delta$，可得
$$s_\hat{\alpha}\hat{\alpha}=-\hat{\alpha}\qquad s_\hat{\alpha}\delta=\delta$$
为分析 $\hat{W}$ 的结构，将单反射写为以下形式
$$s_\hat{\alpha}\hat{\lambda}=s_\alpha(t_{\alpha^\vee})^m\hat{\lambda}$$
$$t_{\alpha^\vee}=s_{-\alpha+\delta}s_\alpha=s_\alpha s_{\alpha+\delta}$$
$t_{\alpha^\vee}$ 对权的作用为
$$t_{\alpha^\vee}\hat{\lambda}=(\lambda+k\alpha^\vee;k;n+[|\lambda|^2-|\lambda+k\alpha^\vee|^2]/2k)$$
$t_{\alpha^\vee}$ 具有以下性质，可知其对有限权的作用为平移伴根 $\alpha^\vee$，所有 $t_{\alpha^\vee}$ 生成伴根阵 $Q^\vee$
$$(t_{\alpha^\vee})(t_{\beta^\vee})=t_{\alpha^\vee+\beta^\vee}$$
因此仿射Weyl反射为有限Weyl反射与对应伴根平移的乘积，由于平移群无限，故仿射Weyl群也为无限维；实际上由于 $Q^\vee$ 与 $W$ 相同的元素只有单位元，仿射Weyl群 $\hat{W}$ 具有半直积结构，$Q^\vee$ 为 $\hat{W}$ 的不变子群
$$w(t_{\alpha^\vee})w^{-1}=t_{w\alpha^\vee}\qquad\forall\; w\in \hat{W}$$
$$w’(t_{\alpha^\vee})w(t_{\beta^\vee})=w’w(t_{w^{-1}\alpha^\vee})(t_{\beta^\vee})$$
$\hat{W}$ 的生成元 $s_i$ 为对应于单根的反射，对 $i\neq 0$，$s_i$ 与有限反射相同，而 $s_0$ 作用为
$$s_0\hat{\lambda}=(\lambda+k\theta-(\lambda,\theta)\theta;k;n-k+(\lambda,\theta))=s_\theta t_{-\theta}(\hat{\lambda})$$
仿射Weyl群将仿射权矢量空间划分为无限个仿射Weyl腔
$$\hat{C}_w=\{\hat{\lambda}|(w\hat{\lambda},\alpha_i)\ge 0,i=0,1,\cdots,r\}\qquad w\in\hat{W}$$
基本腔对应于 $w=1$，其中权具有形式
$$\hat{\lambda}=\sum_{i=0}^r\lambda_i\hat{\omega}_i+l\delta\qquad\lambda_i\ge0,l\in\mathbb{R}$$
与有限情况不同的是，当投影掉 $\delta$ 部分后，仿射Weyl腔的面积是有限的
由定义知仿射Weyl群保持权标量积不变
$$(s_\hat{\alpha}\hat{\mu},s_\hat{\alpha}\hat{\lambda})=(\hat{\mu},\hat{\lambda})$$
相应地定义移位Weyl反射
$$w\cdot\hat{\lambda}=w(\hat{\lambda}+\hat{\rho})-\hat{\rho}$$
范例
$\hat{\mathfrak{su}}(2)$
$\mathfrak{su}(2)$ 唯一正根为 $\theta=\alpha_1$，$(\alpha_0,\alpha_1^\vee)=(\alpha_1,\alpha_0^\vee)=-2$，可知仿射Cartan矩阵为
$$\hat{A}=\begin{pmatrix}
2&-2\\-2&2
\end{pmatrix}$$
单根Dynkin标为
$$\alpha_0=[2,-2]\qquad\alpha_1=[-2,2]$$
对于 $\hat{\mathfrak{su}}(N)$，所有标和伴标均为 $1$，因此级为Dynkin标中所有数字相加，对于 $\hat{\mathfrak{su}}(2)$ 单根，其为零
完整根集为
$$\hat{\Delta}=\{\pm\alpha_1,\pm\alpha_1+n\delta,n\delta|n\in\mathbb{Z},n\neq 0\}$$
由于 $\delta=\alpha_0+\alpha_1$，根集又可写为
$$\hat{\Delta}=\{n\alpha_0+m\alpha_1||n-m|\le 1,n,m\in\mathbb{Z}\}$$
此结构信息包含在Serre关系中，由于 $1-\hat{A}_{10}=3$，下式说明 $\alpha_1+3\alpha_0$ 不是根
$$[e^0,[e^0,[e^0,e^1]]]=[\text{ad}(e^0)]^3 e^1=0$$
仿射Weyl群由 $s_0,s_1$ 生成，其对权 $\hat{\lambda}=[\lambda_0,\lambda_1]$ 的作用为
$$s_0\hat{\lambda}=\hat{\lambda}-\lambda_0\alpha_0=[\lambda_0,\lambda_1]-\lambda_0[2,-2]=[-\lambda_0,\lambda_1+2\lambda_0]$$
$$s_1\hat{\lambda}=\hat{\lambda}-\lambda_1\alpha_1=[\lambda_0,\lambda_1]-\lambda_1[-2,2]=[\lambda_0+2\lambda_1,-\lambda_1]$$
$s_0$ 的作用为从 $\hat{\lambda}$ 减去 $\lambda_0$ 个 $\alpha_0$，由于 $\alpha_0$ 的 $L_0$ 特征值为 $-1$，$s_0\hat{\lambda}$ 将 $\hat{\lambda}$ 的 $L_0$ 特征值提升 $\lambda_0$；记 $\hat{\lambda}$ 的级为 $k$，则零Dynkin标为
$$\lambda_0=k-\lambda_1$$
由此单Weyl反射可写为
$$s_0\hat{\lambda}=[-k+\lambda_1,2k-\lambda_1]\qquad s_1\hat{\lambda}=[k+\lambda_1,-\lambda_1]$$
可知 $s_0s_1$ 将 $\hat{\lambda}$ 的有限部分平移 $2k\omega_1=k\alpha_1^\vee$，说明其为平移算符 $t_{\alpha_1^\vee}$
$$s_0s_1\hat{\lambda}=[-k-\lambda_1,2k+\lambda_1]\qquad t_{\alpha_1^\vee}=s_0s_1$$
可知仿射Weyl群结构为
$$\hat{W}=\{(s_0s_1)^n,s_1(s_0s_1)^n|n\in\mathbb{Z}\}$$
两单根夹角为 $\pi$，由 $(s_is_j)^{m_{ij}}=1,\;m_{ij}=\pi/(\pi-\theta_{ij})$ 可知 $(s_0s_1)$ 阶无限，因此仿射Weyl群无限
下图为 $\hat{\mathfrak{su}}(2)$ 仿射Weyl腔
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$\hat{\mathfrak{su}}(3)$
$\theta=\alpha_1+\alpha_2$，仿射Cartan矩阵为
$$\hat{A}=\begin{pmatrix}
2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2
\end{pmatrix}$$
可知单根为
$$\alpha_0=[2,-1,-1]\qquad\alpha_1=[-1,2,-1]\qquad\alpha_2=[-1,-1,2]$$
完整根集可由一叠无限个六边形描述，每层表示 $\mathfrak{su}(3)$ 的根，相邻六边形由 $\delta$ 分隔
对应于单根的反射为
$$s_0\hat{\lambda}=[-\lambda_0,\lambda_0+\lambda_1,\lambda_0+\lambda_2]$$
$$s_1\hat{\lambda}=[\lambda_0+\lambda_1,-\lambda_1,\lambda_1+\lambda_2]$$
$$s_2\hat{\lambda}=[\lambda_0+\lambda_2,\lambda_1+\lambda_2,-\lambda_2]$$
由 $\lambda_0=k-\lambda_1-\lambda_2$ 可知平移算符为
$$t_{\alpha_1^\vee}=s_2s_0s_2s_1\qquad t_{\alpha_2^\vee}=s_1s_0s_1s_2$$
单反射间有以下关系，其并不反映Weyl群的无限阶性质
$$(s_0s_1s_0)^3=(s_0s_2s_0)^3=(s_1s_2s_1)^3=1$$
外自同构
图对称与外自同构群
记 $D(\frak{g}),D(\hat{\frak{g}})$ 分别表示 $\frak{g}$ 和 $\hat{\frak{g}}$ Dynkin图的对称群，即保持单根标量积或Cartan矩阵不变的单根对称变换；由于根标量积只依赖于有限部分，因此只需考虑仿射单根的有限投影，意味着单根被映射为另一个具有相同标和伴标的单根
对于 $A_{r>1},D_{r>4},E_6$，其对称群分别为 $\mathbb{Z}_2,D_4,S_3$，其余单Lie代数对称群 $D(\mathfrak{g})=1$
由于 $D(\mathfrak{g})$ 为 $D(\hat{\frak{g}})$ 子群，可定义 $\hat{g}$ 的外自同构群 $\mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})$
$$\mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})=D(\hat{\mathfrak{g}})/D(\mathfrak{g})$$
下图表示仿射Dynkin图的非平凡外自同构群
可知仿射Lie代数的外自同构群与其生成元对权的作用为
| $\mathfrak{g}$ | $\mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})$ | $a[\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_{r-1},\lambda_r]$ |
|---|---|---|
| $A_r$ | $\mathbb{Z}_{r+1}$ | $[\lambda_r,\lambda_0,\cdots,\lambda_{r-2},\lambda_{r-1}]$ |
| $B_r$ | $\mathbb{Z}_2$ | $[\lambda_1,\lambda_0,\cdots,\lambda_{r-1},\lambda_r]$ |
| $C_r$ | $\mathbb{Z}_2$ | $[\lambda_r,\lambda_{r-1},\cdots,\lambda_1,\lambda_0]$ |
| $D_{r=2l}$ | $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ | $\begin{array}{l}&[\lambda_1,\lambda_0,\lambda_2,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r-1}]\\&[\lambda_r,\lambda_{r-1},\lambda_{r-2},\cdots,\lambda_1,\lambda_0]\end{array}$ |
| $D_{r=2l+1}$ | $\mathbb{Z}_4$ | $[\lambda_{r-1},\lambda_r,\lambda_{r-2},\cdots,\lambda_1,\lambda_0]$ |
| $E_6$ | $\mathbb{Z}_3$ | $[\lambda_1,\lambda_5,\lambda_4,\lambda_3,\lambda_6,\lambda_0,\lambda_2]$ |
| $E_7$ | $\mathbb{Z}_2$ | $[\lambda_6,\lambda_5,\lambda_4,\lambda_3,\lambda_2,\lambda_1,\lambda_0,\lambda_7]$ |
由于外自同构作用 $A$ 将基本权映为具有相同伴标的基本权，故其并不改变级，可知 $\mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})$ 将支配权集 $P_+^k$ 映为自身，保持仿射基本腔不变；特别地，外自同构保持Weyl矢量 $\hat{\rho}$ 不变
外自同构对权作用
由 $\lambda_0=k-\displaystyle\sum_{i=1}^r a_i^\vee\lambda_i$ 知外自同构对仿射权的作用为
$$A\hat{\lambda}=kA\hat{\omega}_0+\sum_{i=1}^r\lambda_i A(\hat\omega_i-a_i^\vee\hat{\omega}_0)$$
上式第二项为外自同构对有限权的作用，其为保持有限权阵原点不变，不含平移，因此对应有限Weyl群中元素，记为 $w_A$，则有
$$A\hat{\lambda}=k(A-1)\hat{\omega}_0+w_A\hat{\lambda}$$
记 $W_{(i)}$ 为由所有 $s_j\;(j\neq i)$ 生成的有限Weyl群的子群，$w_i,w_0$ 分别为 $W_{(i)},W$ 的最长元素，若 $A\hat\omega_0=\hat\omega_i$，则有
$$w_A=w_i w_0$$
$w_A$ 的符号如下，将在之后证明
$$\epsilon(w_A)=e^{2\pi i(A\hat{\omega}_0,\rho)}=e^{-\pi i g|A\hat\omega_0|^2}$$
考虑 $\hat{\mathfrak{su}}(2)$，其唯一非平凡外自同构为 $a:\hat{\omega}_0\leftrightarrow\hat{\omega}_1$，由 $W=\{1,s_1\}$ 可知 $w_A=s_1$，下式验证其正确
$$\begin{aligned}a[\lambda_0,\lambda_1]&=k(a-1)\hat{\omega}_0+s_1[\lambda_0,\lambda_1]\\&=k(\hat{\omega}_1-\hat{\omega}_0)+[\lambda_0+2\lambda_1,-\lambda_1]\\&=[\lambda_1,\lambda_0]\end{aligned}$$
考虑 $\hat{\mathfrak{su}}(3)$，$a$ 作用为 $\hat{\omega}_0\to\hat{\omega}_1\to\hat{\omega}_2\to\hat{\omega}_0$，$W_{(1)}$ 最长元素为 $s_2$，$W$ 最长元素为 $w_0=s_1s_2s_1=s_2s_1s_2$，可知 $w_A=s_1 s_2$，下式验证其正确
$$\begin{aligned}a[\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2]&=k(a-1)\hat{\omega}_0+s_1s_2[\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2]\\&=k(\hat{\omega}_1-\hat{\omega}_0)+[\lambda_0+2\lambda_2+\lambda_1,-\lambda_1-\lambda_2,\lambda_1]\\&=[\lambda_2,k-\lambda_1-\lambda_2,\lambda_1]\\&=[\lambda_2,\lambda_0,\lambda_1]\end{aligned}$$
还可以验证 $a^2$ 对应 $s_2s_1$
$$w_{a^2}=(w_a)^2=s_2s_1=(w_a)^{-1}=w_{a^{-1}}$$
对于 $\hat{\mathfrak{su}}(N)$ 有
$$w_a=s_1s_2\cdots s_{N-1}$$
应当强调外自同构保持代数的对易关系，考虑 $\hat{\mathfrak{su}}(2)$，自旋基下生成元对易关系为
$$[J_m^0,J_n^0]=2km\delta_{m+n,0}$$
$$[J_m^0,J_n^\pm]=\pm J_{n+m}^\pm$$
$$[J_m^+,J_n^-]=2J_{n+m}^0+km\delta_{m+n,0}$$
其中 $2J^0\ket{\lambda}=\lambda_1\ket{\lambda}$，$J_0^+$ 将权加 $\alpha_1$，$J_1^-$ 将权加 $\alpha_0$；因此 $\alpha_0\leftrightarrow\alpha_1$ 相当于 $J_m^+\leftrightarrow J_{m+1}^{-}$
$$[J_m^+,J_n^-]\to [J_{m+1}^-,J_{n-1}^+]=-2J_{n+m}^0+k(m+1)\delta_{m+n,0}$$
为保持对易子不变，$J_m^0$ 应变为
$$2J_m^0\to k\delta_{m,0}-2J_m^0$$
这与 $a$ 作用下 $\lambda_1\to k-\lambda_1$ 一致
群中心
容易验证 $\mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})$ 与 $\mathfrak{g}$ 对应的群的中心 $B(G)$ 同构
$$\mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})\simeq B(G)$$
对每个 $A\in \mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})$，存在以下 $b\in B(G)$ 与之对应
$$b=e^{-2\pi i A\hat{\omega}_0\cdot H}$$
此形式明显与Cartan子代数生成元对易，进一步有
$$b E^\beta=e^{-2\pi i (A\hat{\omega}_0,\beta)}E^\beta b$$
$b$ 与 $E^\beta$ 对易要求下式成立，由 $A\hat{\omega}_0$ 标与伴标均为为 $1$ 可知与其对偶的单伴根和单根相同，因此该式正确
$$(A\hat{\omega}_0,\beta)\in\mathbb{Z}\qquad\text{for any}\quad\beta\in Q$$
之后会频繁用到以下关系，其中 $\xi$ 为可积权，$w\in W$
$$(A\hat{\omega}_0,\xi-w\xi)\in \mathbb{Z}$$
$b$ 对 $\mathfrak{g}$ 的最高权模 $L_\lambda$ 中态 $\ket{\lambda’}$ 的作用为
$$b\ket{\lambda’}=e^{-2\pi i(A\hat{\omega}_0,\lambda’)}\ket{\lambda’}$$
事实上由于代数生成元不受中心作用影响，其特征值对所有权均相同
$$b\lambda’=\lambda’e^{-2\pi i(A\hat{\omega}_0,\lambda’)}=\lambda e^{-2\pi i(A\hat{\omega}_0,\lambda)}$$
又 $b$ 与所有仿射生成元对易，上式可推广到仿射情形
$$b\hat{\lambda}’=\hat{\lambda}’e^{-2\pi i(A\hat{\omega}_0,\lambda)}$$
若 $b$ 对应于 $A$，则 $b^q$ 对应于 $A^q$，可知
$$(A^q\hat{\omega}_0,\lambda)=q(A\hat{\omega}_0,\lambda)\mod 1$$
若 $\mathcal{O}(\hat{\mathfrak{g}})$ 为 $N$ 阶循环群，$A^N=1$，则 $(A^N\hat{\omega}_0,\lambda)=0$，可知下式成立，即 $b$ 特征值为 $N$ 次单位根
$$N(A\hat{\omega}_0,\lambda)\in\mathbb{Z}$$