度规展开

考虑度规 $g_{ij}(x)$ 在原点处的Taylor展开式，令 $\gamma(t)$ 为某测地线，$J(t)=t W^i\partial_i$ 为 $\gamma(t)$ 上Jacobi矢量场，即

$$\frac{D^2}{\dd t^2}J=R(\dot\gamma,J)\dot\gamma\qquad\Longleftrightarrow \qquad\ddot J=RJ$$

$$\langle R(\dot\gamma,X)\dot\gamma,Y \rangle=\langle R(\dot\gamma,Y)\dot\gamma,X \rangle\qquad\Longleftrightarrow \qquad\langle R X,Y\rangle=\langle R Y,X\rangle$$

令 $f=\ev{J,J}$，计算其在原点处的四阶Taylor展开式

$$\begin{aligned}f(t)&=f+2\langle J,\dot{J}\rangle t+(2\langle\dot J,\dot J\rangle +2\ev{J,RJ})\frac{t^2}{2}\\&+(2\langle J,2\dot R J\rangle+8\langle \dot J,R J\rangle)\frac{t^3}{6}\\&+(2\langle J,2\ddot R J\rangle+12\langle J,\dot R\dot J\rangle+8\langle RJ,RJ\rangle+8\langle \dot J,R\dot J\rangle)\frac{t^4}{24}+O(t^5)\\&=\langle W,W\rangle t^2+\frac{1}{3}\langle W,RW\rangle t^4+O(t)^5\\&=g_{ij}W^i W^j t^2+ \frac{1}{3}R_{ikjl}W^k W^l t^4+O(t^5)\end{aligned}$$

与 $f(t)=g_{ij}(t) W^i W^j t^2$ 比较可知度规Taylor展开式为

$$g_{ij}(x)=g_{ij}+\frac{1}{3}R_{ikjl}x^k x^l$$

度规变分

由Jacobi公式

$$\dd\;\det A=\det A\;\Tr(A^{-1}\dd A)$$

可得度规变分

$$\delta\sqrt{g}=-\frac{1}{2}\sqrt{g}g_{ij}\delta g^{ij}$$

Christoffel符号变分

$$\delta \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{kl}(\nabla_i\delta g_{jl}+\nabla_j\delta g_{il}-\nabla_l\delta g_{ij})$$