复向量空间与复流形

$B$上$n$维复向量丛$\omega$由拓扑空间$E$和映射$\pi:E\to B$构成，其纤维$\pi^{-1}(b)$为$n$维复平面，且满足局部平凡条件：$B$上每点具有邻域$U$，其原像$\pi^{-1}(U)$同胚于$U\times\mathbb{C}^n$，此同胚将每点纤维$\pi^{-1}(b)$复线性地映为$b\times\mathbb{C}^n$

$n$维复向量丛可由对$2n$维实向量丛$\xi$施加复结构[得到，所谓复结构即为连续映射

$$J:E(\xi)\to E(\xi),\qquad J(J(v))=-v\quad \forall v\in E(\xi)$$

其将总空间实线性地映为自身，此复结构可将每点纤维$F_b(\xi)$变为复向量空间

$$(x+i y)v=xv+J(yv)$$

易验证其满足局部平凡条件，故$\xi$成为复丛。反之也可由复丛去掉复结构得到潜在实丛

切丛$\quad$令$U$为$\mathbb{C}^n$开子集，则切丛$\tau_U$与总空间$TU=U\times\mathbb{C}^n$具有以下正则复结构$J_0$

$$J_0(u,v)=(u,iv)\quad\forall u\in U,v\in \mathbb{C}^n$$

考虑开集之间的光滑映射$f:U\to U’$，$U\in\mathbb{C}^n$，实线性映射$\dd f_u:TU\to TU’$对所有$u$复线性的条件为

$$\dd f\circ J_0=J_0\circ \dd f$$

此即Cauchy-Riemann方程，说明复切丛的局部平凡条件要求底流形同胚为全纯函数

令$M$为$2n$维光滑流形，$M$切丛上的复结构$J$有时称为$M$上的近复结构，此近复结构成为$M$上复结构的条件为：$M$上每点均具有同胚于$\mathbb{C}^n$中开集的开邻域，且此同胚$h$的导数处处满足复线性条件，即$\dd h\circ J=J_0\circ\dd h$

此时称$(M,J)$为具有复维数$n$的复流形，简写为$M$。令$f:M\to N$为两个复流形之间的光滑映射，若$\dd f$满足$\dd f\circ J=J\circ \dd f$，则称$f$全纯

一个基本定理断言$M$上的近复结构$J$成为复结构的充要条件为

$$[Jv,Jw]=J[v,Jw]+J[Jv,w]+[v,w]\quad\forall v,w\in TM$$

对光滑流形$M$施加复结构的最经典的过程如下：首先选定一组同胚$h_\alpha:U_\alpha\to V_\alpha$，其中$U_\alpha$为$\mathbb{C}^n$中开集，$V_\alpha$为$M$开覆盖，只需验证下列每个复合映射全纯即可

$$h_\beta^{-1}\circ h_\alpha: h_{\alpha}^{-1}(V_\alpha\cap V_\beta)\to h_{\beta}^{-1}(V_\alpha\cap V_\beta)$$

陈类

引理1$\quad$若$\omega$为复向量丛，则其潜在实向量丛$\omega_\mathbb{R}$具有典范定向

此引理的证明只需注意到$\text{GL}_n(C)$为联通群，因此$n$维复空间$V$中任意一组基均可通过连续形变成为任意另一组基，此过程保持潜在实空间$V_\mathbb{R}$定向不变，即其定向不依赖于基的选取。将此引理应用于切丛可知任意复流形均具有一个典范定向

对于底空间$B$上的$n$维复平面丛$\omega$，其Euler class $e(\omega_\mathbb{R})\in H^{2n}(B;\mathbb{Z})$具有良好定义，若$\omega’$为相同底空间上的$m$维复平面丛，则有

$$e((\omega\oplus\omega’)_\mathbb{R})=e(\omega_\mathbb{R})e(\omega’_\mathbb{R})$$

这可由两个复向量丛纤维$F_\mathbb{R},F’_\mathbb{R}$的典范定向诱导出$(F+\oplus F’)_\mathbb{R}$的典范定向得出，即$\omega_\mathbb{R}\oplus\omega’_\mathbb{R}$作为可定向丛同胚于$(\omega\oplus\omega’)_\mathbb{R}$

Hermitian度规

复向量丛$\omega$上的Hermitian度规是满足如下条件的潜在实丛上的Euclidean度规

$$v\to |v|^2\ge 0\qquad |iv|=|v|$$

给定$\omega$上Hermitian度规，对$\omega$相同纤维上向量$v,w$，容易证明有且仅有一个复值内积$\ev{v,w}$满足条件：$1.\;$双复线性$\ev{\lambda v,\mu w}=\lambda\bar \mu\ev{v,w}$，$2.\;\ev{v,v}=|v|^2$，其形式为

$$\ev{v,w}=\frac{1}{2}(|v+w|^2-|v|^2-|w|^2)+\frac{i}{2}(|v+iw|^2-|v|^2-|iw|^2)$$

复值内积满足$\ev{v,w}=\overline{\ev{w,v}}$，若$\ev{v,w}=0$，则称$v,w$正交。若底空间$B$仿紧，则其上每一个复向量丛均容许Hermitian度规

陈类构造

构造$n$维复向量丛$\omega$的示性类，首先需构造删除总空间$E_0$上的典范$n-1$维平面丛$\omega_0$
$E_0$中的点由$\omega$的一个纤维$F$与此纤维中的一个非零向量$v$决定，若$\omega$上已经确定了Hermitian度规，则$\omega_0$在$v$处的纤维即为$F$中与$v$正交的成分；若不使用Hermitian度规，也可定义$\omega_0$在$v$处的纤维为商空间$F/\mathbb{C}v$，其中$\mathbb{C}v$为非零向量$v$张成的一维子空间，这两种构造的纤维典范同构

由于任意实定向$2n$维平面丛均具有下列整系数正合Gysin序列

$$\cdots\to H^{i-2n}(B)\overset{\smile e}{\to}H^i(B)\overset{\pi_0^*}{\to}H^i(E_0)\to H^{i-2n+1}(B)\to\cdots$$

可知对于$i<2n-1$，$\pi_0^*:H^i(B)\to H^i(E_0)$为同构

陈类 $c_i(\omega)\in H^{2i}(B;\mathbb{Z})$可由对$\omega$的维数$n$归纳定义，首先定义顶陈类为Euler class

$$c_n(\omega)=e(\omega_\mathbb{R})$$

对于$i<n$，由于$\pi_0^*:H^{2i}(B)\to H^{2i}(E_0)$为同构，故定义

$$c_i(\omega)=\pi_0^{*-1}c_i(\omega_0)$$

对于$i>n$，定义陈类为零。总陈类$c(\omega)$为环$H^{\Pi}(B;\mathbb{Z})$中形式和，其逆$c(\omega)^{-1}$具有良好定义

$$c(\omega)=1+c_1(\omega)+c_2(\omega)+\cdots+c_n(\omega)$$

$$c(\omega)^{-1}=1-c_1(\omega)+(c_1(\omega)^2-c_2(\omega))+\cdots$$

引理2(Naturality)$\quad$若$f:B\to B’$被由$B$上的$n$维复平面丛$\omega$到$B’$上的$n$维复平面丛$\omega’$的丛映射覆盖，则$c(\omega)=f^*c(\omega’)$

此引理可由对$n$归纳证明，由于Euler class自然，故顶陈类满足$c_n(\omega)=f^*c_n(\omega’)$
对于低阶陈类，注意到丛映射$\omega\to\omega’$诱导出

$$f_0:E_0(\omega)\to E_0(\omega’)$$

此映射被$n-1$维丛映射$\omega_0\to \omega_0’$覆盖，归纳可知$c_i(\omega_0)=f_0^*c_i(\omega_0’)$

由以下交换图和同胚$c_i(\omega_0)=\pi_0^{*}c_i(\omega),c_i(\omega_0’)=\pi_0^{\prime *}c_i(\omega’)$即得引理证明

引理3$\quad$若$\varepsilon^k$为$B=B(\omega)$上的平凡复$k$平面丛，则$c(\omega\oplus\varepsilon^k)=c(\omega)$

只需证明$k=1$的情况，令$\phi=\omega\oplus \varepsilon^1$为$n$维复平面丛，由于$\phi$含有一个非零截面，故顶陈类$c_{n+1}(\phi)=c_{n+1}(\phi_\mathbb{R})=0=c_{n+1}(\omega)$；令$s:B\to E_0(\phi)$为此截面，其被丛映射$\omega\to\phi_0$覆盖，故$s^{*}c_i(\phi_0)=c_i(\omega)$，而$\pi_0^{*}c_i(\phi_0)=c_i(\phi)$，$s^{*}\circ\pi_0^{*}=\text{id}$，引理得证

复Grassmann流形

复Grassmann流形$\text{Gr}_n(\mathbb{C}^{n+k})$为$\mathbb{C}^{n+k}$中所有经过原点的$n$维复平面的集合，其具有$nk$维复解析流形的自然结构