复向量空间与复流形

$B$上$n$维复向量丛$\omega$由拓扑空间$E$和映射$\pi :E\to B$构成，其纤维${\pi }^{-1}(b)$为$n$维复平面，且满足局部平凡条件：$B$上每点具有邻域$U$，其原像${\pi }^{-1}(U)$同胚于$U\times {\mathbb{C}}^n$，此同胚将每点纤维${\pi }^{-1}(b)$复线性地映为$b\times {\mathbb{C}}^n$

$n$维复向量丛可由对$2n$维实向量丛$\xi$施加复结构[得到，所谓复结构即为连续映射

$$J:E(\xi )\to E(\xi ),J(J(v))=-v\mathrm{\forall }v\in E(\xi )$$

其将总空间实线性地映为自身，此复结构可将每点纤维$F_b(\xi )$变为复向量空间

$$(x+iy)v=xv+J(yv)$$

易验证其满足局部平凡条件，故$\xi$成为复丛。反之也可由复丛去掉复结构得到潜在实丛

切丛$$令$U$为${\mathbb{C}}^n$开子集，则切丛${\tau }_U$与总空间$TU=U\times {\mathbb{C}}^n$具有以下正则复结构$J_0$

$$J_0(u,v)=(u,iv)\mathrm{\forall }u\in U,v\in {\mathbb{C}}^n$$

考虑开集之间的光滑映射$f:U\to U^{\prime }$，$U\in {\mathbb{C}}^n$，实线性映射$\mathrm{d}{f}_u:TU\to T{U}^{\prime }$对所有$u$复线性的条件为

$$\mathrm{d}f\circ J_0=J_0\circ \mathrm{d}f$$

此即Cauchy-Riemann方程，说明复切丛的局部平凡条件要求底流形同胚为全纯函数

令$M$为$2n$维光滑流形，$M$切丛上的复结构$J$有时称为$M$上的近复结构，此近复结构成为$M$上复结构的条件为：$M$上每点均具有同胚于${\mathbb{C}}^n$中开集的开邻域，且此同胚$h$的导数处处满足复线性条件，即$\mathrm{d}h\circ J=J_0\circ \mathrm{d}h$

此时称$(M,J)$为具有复维数$n$的复流形，简写为$M$。令$f:M\to N$为两个复流形之间的光滑映射，若$\mathrm{d}f$满足$\mathrm{d}f\circ J=J\circ \mathrm{d}f$，则称$f$全纯

一个基本定理断言$M$上的近复结构$J$成为复结构的充要条件为

$$[Jv,Jw]=J[v,Jw]+J[Jv,w]+[v,w]\mathrm{\forall }v,w\in TM$$

对光滑流形$M$施加复结构的最经典的过程如下：首先选定一组同胚$h_{\alpha }:U_{\alpha }\to V_{\alpha }$，其中$U_{\alpha }$为${\mathbb{C}}^n$中开集，$V_{\alpha }$为$M$开覆盖，只需验证下列每个复合映射全纯即可

$$h_{\beta }^{-1}\circ h_{\alpha }:h_{\alpha }^{-1}(V_{\alpha }\cap V_{\beta })\to h_{\beta }^{-1}(V_{\alpha }\cap V_{\beta })$$

陈类

引理1$$若$\omega$为复向量丛，则其潜在实向量丛${\omega }_{\mathbb{R}}$具有典范定向

此引理的证明只需注意到${\text{GL}}_n(C)$为联通群，因此$n$维复空间$V$中任意一组基均可通过连续形变成为任意另一组基，此过程保持潜在实空间$V_{\mathbb{R}}$定向不变，即其定向不依赖于基的选取。将此引理应用于切丛可知任意复流形均具有一个典范定向

对于底空间$B$上的$n$维复平面丛$\omega$，其Euler class $e({\omega }_{\mathbb{R}})\in H^{2n}(B;\mathbb{Z})$具有良好定义，若${\omega }^{\prime }$为相同底空间上的$m$维复平面丛，则有

$$e((\omega \oplus {\omega }^{\prime }{)}_{\mathbb{R}})=e({\omega }_{\mathbb{R}})e({\omega }_{\mathbb{R}}^{\prime })$$

这可由两个复向量丛纤维$F_{\mathbb{R}},F_{\mathbb{R}}^{\prime }$的典范定向诱导出$(F+\oplus F^{\prime }{)}_{\mathbb{R}}$的典范定向得出，即${\omega }_{\mathbb{R}}\oplus {\omega }_{\mathbb{R}}^{\prime }$作为可定向丛同胚于$(\omega \oplus {\omega }^{\prime }{)}_{\mathbb{R}}$

Hermitian度规

复向量丛$\omega$上的Hermitian度规是满足如下条件的潜在实丛上的Euclidean度规

$$v\to |v{|}^2\ge 0|iv|=|v|$$

给定$\omega$上Hermitian度规，对$\omega$相同纤维上向量$v,w$，容易证明有且仅有一个复值内积$⟨v,w⟩$满足条件：$1.$双复线性$⟨\lambda v,\mu w⟩=\lambda \overline{\mu }⟨v,w⟩$，$2.⟨v,v⟩=|v{|}^2$，其形式为

$$⟨v,w⟩=\frac{1}{2}(|v+w{|}^2-|v{|}^2-|w{|}^2)+\frac{i}{2}(|v+iw{|}^2-|v{|}^2-|iw{|}^2)$$

复值内积满足$⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩}$，若$⟨v,w⟩=0$，则称$v,w$正交。若底空间$B$仿紧，则其上每一个复向量丛均容许Hermitian度规

陈类构造

构造$n$维复向量丛$\omega$的示性类，首先需构造删除总空间$E_0$上的典范$n-1$维平面丛${\omega }_0$
$E_0$中的点由$\omega$的一个纤维$F$与此纤维中的一个非零向量$v$决定，若$\omega$上已经确定了Hermitian度规，则${\omega }_0$在$v$处的纤维即为$F$中与$v$正交的成分；若不使用Hermitian度规，也可定义${\omega }_0$在$v$处的纤维为商空间$F/\mathbb{C}v$，其中$\mathbb{C}v$为非零向量$v$张成的一维子空间，这两种构造的纤维典范同构

由于任意实定向$2n$维平面丛均具有下列整系数正合Gysin序列

$$\cdots \to H^{i-2n}(B)\stackrel{⌣e}{\to }{H}^i(B)\stackrel{{\pi }_0^{\ast }}{\to }{H}^i(E_0)\to H^{i-2n+1}(B)\to \cdots$$

可知对于$i<2n-1$，${\pi }_0^{\ast }:H^i(B)\to H^i(E_0)$为同构

陈类 $c_i(\omega )\in H^{2i}(B;\mathbb{Z})$可由对$\omega$的维数$n$归纳定义，首先定义顶陈类为Euler class

$$c_n(\omega )=e({\omega }_{\mathbb{R}})$$

对于$i<n$，由于${\pi }_0^{\ast }:H^{2i}(B)\to H^{2i}(E_0)$为同构，故定义

$$c_i(\omega )={\pi }_0^{\ast -1}{c}_i({\omega }_0)$$

对于$i>n$，定义陈类为零。总陈类$c(\omega )$为环$H^{\mathrm{\Pi }}(B;\mathbb{Z})$中形式和，其逆$c(\omega {)}^{-1}$具有良好定义

$$c(\omega )=1+c_1(\omega )+c_2(\omega )+\cdots +c_n(\omega )$$

$$c(\omega {)}^{-1}=1-c_1(\omega )+(c_1(\omega {)}^2-c_2(\omega ))+\cdots$$

引理2(Naturality)$$若$f:B\to B^{\prime }$被由$B$上的$n$维复平面丛$\omega$到$B^{\prime }$上的$n$维复平面丛${\omega }^{\prime }$的丛映射覆盖，则$c(\omega )=f^{\ast }c({\omega }^{\prime })$

此引理可由对$n$归纳证明，由于Euler class自然，故顶陈类满足$c_n(\omega )=f^{\ast }{c}_n({\omega }^{\prime })$
对于低阶陈类，注意到丛映射$\omega \to {\omega }^{\prime }$诱导出

$$f_0:E_0(\omega )\to E_0({\omega }^{\prime })$$

此映射被$n-1$维丛映射${\omega }_0\to {\omega }_0^{\prime }$覆盖，归纳可知$c_i({\omega }_0)=f_0^{\ast }{c}_i({\omega }_0^{\prime })$

由以下交换图和同胚$c_i({\omega }_0)={\pi }_0^{\ast }{c}_i(\omega ),c_i({\omega }_0^{\prime })={\pi }_0^{\prime \ast }{c}_i({\omega }^{\prime })$即得引理证明

引理3$$若${\epsilon }^k$为$B=B(\omega )$上的平凡复$k$平面丛，则$c(\omega \oplus {\epsilon }^k)=c(\omega )$

只需证明$k=1$的情况，令$\varphi =\omega \oplus {\epsilon }^1$为$n$维复平面丛，由于$\varphi$含有一个非零截面，故顶陈类$c_{n+1}(\varphi )=c_{n+1}({\varphi }_{\mathbb{R}})=0=c_{n+1}(\omega )$；令$s:B\to E_0(\varphi )$为此截面，其被丛映射$\omega \to {\varphi }_0$覆盖，故$s^{\ast }{c}_i({\varphi }_0)=c_i(\omega )$，而${\pi }_0^{\ast }{c}_i({\varphi }_0)=c_i(\varphi )$，$s^{\ast }\circ {\pi }_0^{\ast }=\text{id}$，引理得证

复Grassmann流形

复Grassmann流形${\text{Gr}}_n({\mathbb{C}}^{n+k})$为${\mathbb{C}}^{n+k}$中所有经过原点的$n$维复平面的集合，其具有$nk$维复解析流形的自然结构