三维Riemann流形

令$M$为定向紧三维Riemann流形，$F(M)$为$M$上定向正交归一切标架构成的$\text{SO}(3)$丛，记$\theta$和$\Omega=\dd \theta-\theta\wedge \theta$分别为$F(M)$上的斜对称联络和曲率形式，定义微分3形式

$$\begin{aligned}
Q&=\frac{1}{8\pi^2}(\theta_{12}\wedge \theta_{13}\wedge \theta_{23}-\theta_{12}\wedge \Omega_{12}-\theta_{13}\wedge \Omega_{13}-\theta_{23}\wedge \Omega_{23})\\
\end{aligned}$$

直接取外微分可知

引理1$\quad$$Q$为闭形式

由$F(M)_m$等价于$\text{SO}(3)$和$\Omega$为水平形式可知$Q|F(M)_m$正比于$\text{SO}(3)$上体积形式，又$\text{Vol}(\text{SO}(3))=\text{Vol}(\text{S}^3)/2=\pi^2$，故可取如下归一化

引理2$\quad$令$F(M)_m$为任意一点$m\in M$处的纤维，则$\displaystyle\int_{F(M)_m}Q=1$

由于定向紧三维Riemann流形可平行化，故$F(M)$为平凡丛，其任意两个全局截面满足$\chi’=\chi+nF(M)_m$，结合引理2可得

引理3$\quad$令$\chi$，$\chi’$为$F(M)$的两个全局截面，则$\displaystyle\int_\chi Q-\displaystyle\int_{\chi’} Q\in \mathbb{Z}$

令$\lambda:\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}$为自然同态，则可定义$\Phi(M)=\lambda\left(\displaystyle\int_\chi Q\right)\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，其中$\chi$为任意全局截面，即每个可定向三维Riemann流形$M$均关联了一个点$\Phi(M)\in S^1$

定理1$\quad$$\Phi(M)$为共形不变量